Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-

3

4

x+b分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），四邊形ABCD是正方形．

（1）填空：b=

6

；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A、B除外），試探索在x上方是否存在另一個(gè)點(diǎn)N，使得以O(shè)、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由直線y=-

3

4

x+b分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），即可求得b的值；
（2）首先過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，易證得△AOB≌△DEA，則可求得DE與AE的長(zhǎng)，繼而可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）分別從當(dāng)OM=MB=BN=NO時(shí)，四邊形OMBN為菱形與當(dāng)OB=BN=NM=MO=6時(shí)，四邊形BOMN為菱形去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵直線y=-

3

4

x+b分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），
∴-

3

4

×8+b=0，
解得：b=6，；

（2）如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，
則∠AOB=∠DEA=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90，
∴∠1=∠3，
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=DA，
∵在△AOB和△DEA中，

∠3=∠1 ∠AOB=∠DEA AB=DA

∴△AOB≌△DEA（AAS），
∴OA=DE=8，OB=AE=6，
∴OE=OA+AE=8+6=14，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（14，8）；

（3）存在．
①如圖2，當(dāng)OM=MB=BN=NO時(shí)，四邊形OMBN為菱形．連接NM，交OB于點(diǎn)P，則NM與OB互相垂直平分，
∴OP=

1

2

OB=3，
∴當(dāng)y=3時(shí)，-

3

4

x+6=3，
解得：x=4，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，3），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-4，3）．
②如圖3，當(dāng)OB=BN=NM=MO=6時(shí)，四邊形BOMN為菱形．延長(zhǎng)NM交x軸于點(diǎn)P，則MP⊥x軸．
∵點(diǎn)M在直線y=-

3

4

x+6上，
∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，-

3

4

a+6）（a＞0），
在Rt△OPM中，OP²+PM²=OM²，
即：a²+（-

3

4

a+6）²=6²，
整理得：

25

16

a²-9a=0，
∵a＞0，
∴

25

16

a-9=0，
解得：a=

144

25

，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

144

25

，

42

25

），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

144

25

，

192

25

）．
綜上所述，x軸上方的點(diǎn)N有兩個(gè)，分別為（

144

25

，

192

25

）和（-4，3）．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．