Question

在圖①至圖③中，△ABC為直角三角形，且∠ABC=90°，∠A=30°，點(diǎn)P在AC上，∠MPN=90°．
（1）當(dāng)點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在線段AB、BC上，且PM⊥AB，PN⊥BC（如圖①）時(shí)，則PN和PM的數(shù)量關(guān)系是：PN=______

Answer 1

【答案】分析：（1）利用矩形的判定得出四邊形MPNB是矩形，進(jìn)而得出AM=BM=PN，再利用∠A=30°，即可得出PN和PM的數(shù)量關(guān)系；
（2）過(guò)P作PE⊥AB于E，作PF⊥BC于F，先證△PEM∽△PFN，得PN：PM=PF：PE；在Rt△ABC中，PF=PC，PE=PA，聯(lián)立PC、PA的比例關(guān)系，即可得到PF：PE的值，從而求得PN、PM的比例關(guān)系．
（3）過(guò)P作PE⊥AB于E，作PF⊥BC于F，先證△PEM∽△PFN，得PN：PM=PF：PE；在Rt△ABC中，PF=PC，PE=PA，聯(lián)立PC、PA的比例關(guān)系，即可得到PF：PE的值，從而求得PN、PM的比例關(guān)系．
解答：解：（1）∵∠ABC=90°，∠MPN=90°，PM⊥AB，PN⊥BC
∴四邊形MPNB是矩形，
∵點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，
∴AM=BM=PN，
∵∠A=30°，
∴MP=AM，
∴PN=PM；
故答案為：；

（2）在Rt△ABC中，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于點(diǎn)F；
∴四邊形BFPE是矩形，∴∠EPF=90°，
∵∠EPM+∠MPF=∠FPN+∠MPF=90°，
可知∠EPM=∠FPN，∴△PFN∽△PEM，
∴=；
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A=30°，∠C=60°，
∵cos30°=，
∴PF=PC，PE=PA，
∴==；
∵點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，
∴=；

（3）如圖中都有結(jié)論：PN=PM．
在Rt△ABC中，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于點(diǎn)F；
∴四邊形BFPE是矩形，∴∠EPF=90°，
∵∠EPM+∠MPF=∠FPN+∠MPF=90°，
可知∠EPM=∠FPN，∴△PFN∽△PEM，
∴=；
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A=30°，∠C=60°，
∴PF=PC，PE=PA，
∴==；
∵PC=PA，∴=，
即PN=PM．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，利用（1）中特殊點(diǎn)的證明思路得出（2）、（3）使得此題的難度有所降低，熟練地應(yīng)用相似的性質(zhì)與判定是解決問題的關(guān)鍵．