Question

如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問題：

（1）當(dāng)t＝2時(shí)，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；

（2）設(shè)△BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）作QR//BA交AC于點(diǎn)R，連結(jié)PR，當(dāng)t為何值時(shí)，△APR∽△PRQ？

Answer 1

（1）△BPQ是等邊三角形；（2）S=-t2+3t；（3）當(dāng)t=時(shí)，△APR∽△PRQ．

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)t=2時(shí)，可分別計(jì)算出BP、BQ的長(zhǎng)，再對(duì)△BPQ的形狀進(jìn)行判斷；

（2）∠B為60°特殊角，過Q作QE⊥AB，垂足為E，則BQ、BP、高EQ的長(zhǎng)可用t表示，S與t的函數(shù)關(guān)系式也可求；

（3）由題目線段的長(zhǎng)度可證得△CRQ為等邊三角形，進(jìn)而得出四邊形EPRQ是矩形，由△APR∽△PRQ，可得出∠QPR=60°，利用60°的特殊角列出一方程即可求得t的值．

試題解析：（1）△BPQ是等邊三角形

當(dāng)t=2時(shí)

AP=2×1=2，BQ=2×2=4

∴BP=AB-AP=6-2=4

∴BQ=BP

又∵∠B=60°

∴△BPQ是等邊三角形；

（2）過Q作QE⊥AB，垂足為E

由QB=2t，得QE=2t•sin60°=

由AP=t，得PB=6-t

∴S△BPQ=×BP×QE=（6-t）×=-t2+3t

∴S=-t2+3t

（3）∵QR∥BA

∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°

∴△QRC是等邊三角形

∴QR=RC=QC=6-2t

∵BE=BQ•cos60°=×2t=t

∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t

∴EP∥QR，EP=QR

∴四邊形EPRQ是平行四邊形

∴PR=EQ=

又∵∠PEQ=90°，

∴∠APR=∠PRQ=90°

∵△APR∽△PRQ，

∴∠QPR=∠A=60°

∴tan60°=

即

解得t=

∴當(dāng)t=時(shí)，△APR∽△PRQ．

考點(diǎn)：1．相似三角形的性質(zhì)；2．等邊三角形的性質(zhì)；3．平行四邊形的性質(zhì)；4．解直角三角形．