Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別是∠BAC、∠ABC的角平分線．求證：
（1）BQ=CQ；   
（2）BQ+AQ=AB+BP．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：（1）由三角形的內角和就可以得出∠ABC=80°，再由角平分線就可以得出∠QBC=40°，就有∠QBC=∠C而得出結論；
（2）延長AB至M，使得BM=BP，連結MP，根據(jù)條件就可以得出∠M=∠C，進而證明△AMP≌△ACP就可以得出結論．

解答：證明：（1）∵BQ是∠ABC的角平分線，
∴∠QBC=

1

2

∠ABC．
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，且∠BAC=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=80°，
∴∠QBC=

1

2

×80°=40°，
∴∠QBC=∠C，
∴BQ=CQ；
（2）延長AB至M，使得BM=BP，連結MP．
∴∠M=∠BPM，
∵△ABC中∠BAC=60°，∠C=40°，
∴∠ABC=80°，
∵BQ平分∠ABC，
∴∠QBC=40°=∠C，
∴BQ=CQ，
∵∠ABC=∠M+∠BPM，
∴∠M=∠BPM=40°=∠C，
∵AP平分∠BAC，
∴∠MAP=∠CAP，
在△AMP和△ACP中，
∵

∠M=∠C ∠MAP=∠CAP AP=AP

∴△AMP≌△ACP，
∴AM=AC，
∵AM=AB+BM=AB+BP，AC=AQ+QC=AQ+BQ，
∴AB+BP=AQ+BQ．

點評：本題主要考查全等三角形的判定與性質的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握判定兩個三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．