Question

如圖（1），P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．

（1）如點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，求PB的長．
（2）如圖（2），在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′連結(jié)BB′．求證：BB′過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB′=PA+PB+PC．
（3）已知銳角△ABC，∠ACB=60°，分別以三邊為邊向形外作等邊三角形ABD，BCE，ACF，請找出△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，并探究S_△ABC與S_△ABD的和，S_△BCE與S_△ACF的和是否相等．

Answer 1

解：（1）∵∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=60°，
∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，
∴∠PAB=∠PBC，
又∵∠APB=∠BPC=120°，
∴△ABP∽△BCP，
∴=
∴PB²=PA•PC=12，
∴PB=2；


（2）證明：在BB'上取點(diǎn)P，使∠BPC=120°．連接AP，再在PB'上截取PE=PC，連接CE．

∠BPC=120°，
∴∠EPC=60°，
∴△PCE為正三角形，
∴PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB'=120°．
∵△ACB'為正三角形，
∴AC=B′C，∠ACB'=60°，
∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°，
∴∠PCA=∠ECB′，
∴△ACP≌△B′CE，
∴∠APC=∠B′EC=120°，PA=EB′，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，
∴P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．
∴BB'過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC．

（3）如下圖，
作CP平分∠ACB，交BC的垂直平分線于點(diǎn)P，P點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)；

證明：過A作AM∥FC交BC于M，連接DM、EM，

∵∠ACB=60°，∠CAF=60°，
∴∠ACB=∠CAF，
∴AF∥MC，
∴四邊形AMCF是平行四邊形，
又∵FA=FC，
∴四邊形AMCF是菱形，
∴AC=CM=AM，且∠MAC=60°，
∵在△BAC與△EMC中，
CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，
∴△BAC≌△EMC，
∵∠DAM=∠DAB+∠BAM=60°+∠BAM
∠BAC=∠MAC+∠BAM=60°+∠BAM
∴∠BAC=∠DAM
在△ABC和△ADM中
AB=AD，∠BAC=∠DAM，AC=AM
∴△ABC≌△ADM（SAS）
故△ABC≌△MEC≌△ADM，
在CB上截取CM，使CM=CA，
再連接AM、DM、EM （輔助線這樣做△AMC就是等邊三角形了，后邊證明更簡便）
易證△AMC為等邊三角形，
在△ABC與△MEC中，
CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，
∴△ABC≌△MEC（SAS），
∴AB=ME，∠ABC=∠MEC，
又∵DB=AB，
∴DB=ME，
∵∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°+∠ABC，
∠BME=∠BCE+∠MEC=60°+∠MEC，
∴∠DBC=∠BME，
∴DB∥ME，
即得到DB與ME平行且相等，故四邊形DBEM是平行四邊形，
∴四邊形DBEM是平行四邊形，
∴S_△BDM+S_△DAM+S_△MAC=S_△BEM+S_△EMC+S_△ACF，
即S_△ABC+S_△ABD=S_△BCE+S_△ACF．
分析：（1）由題意可得△ABP∽△BCP，所以PB²=PA•PC，即PB=2；
（2）在BB'上取點(diǎn)P，使∠BPC=120°，連接AP，再在PB'上截取PE=PC，連接CE．由此可以證明△PCE為正三角形，再利用正三角形的性質(zhì)得到PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB'=120°，而△ACB'為正三角形，由此也可以得到AC=B'C，∠ACB'=60°，現(xiàn)在根據(jù)已知的條件可以證明△ACP≌△B'CE，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可證明題目的結(jié)論；
（3）作CP平分∠ACB，交BC的垂直平分線于點(diǎn)P，P點(diǎn)即費(fèi)馬點(diǎn)；
要證明以上結(jié)論，需創(chuàng)造一些條件，首先可從△ABC中分出一部分使得與△ACF的面積相等，則過A作AM∥FC交BC于M，連接DM、EM，就可創(chuàng)造出這樣的條件，然后再證其它的面積也相等即可．
點(diǎn)評：此題考查了等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180°等知識(shí)；此類已知三角形邊之間的關(guān)系求角的度數(shù)的題，一般是利用等腰（等邊）三角形的性質(zhì)得出有關(guān)角的度數(shù)，進(jìn)而求出所求角的度數(shù)．