Question

已知關(guān)于x的方程x³-ax²-2ax+a²-1=0有且只有一個實數(shù)根．求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：根的判別式,解一元二次方程-因式分解法

專題：

分析：先把方程變形為關(guān)于a的一元二次方程的一般形式：a²-（x²+2x）a+x³-1=0，然后利用求根公式解得a=x-1或a=x²+x+1；于是有x=a+1或x²+x+1-a=0，再利用原方程只有一個實數(shù)根，確定方程x²+x+1-a=0沒有實數(shù)根，即△＜0，最后解a的不等式得到a的取值范圍．

解答：解：∵把方程變形為關(guān)于a的一元二次方程的一般形式：a²-（x²+2x）a+x³-1=0，則△=（x²+2x）²-4（x³-1）=（x²+2）²，
∴a=

x2+2x±(x2+2)

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，即a=x-1或a=x²+x+1．
所以有：x=a+1或x²+x+1-a=0．
∵關(guān)于x³-ax²-2ax+a²-1=0只有一個實數(shù)根，
∴方程x²+x+1-a=0沒有實數(shù)根，即△＜0，
∴1-4（1-a）＜0，解得a＜

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．
所以a的取值范圍是a＜

3

4

．
故答案為：a＜

3

4

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．同時考查了轉(zhuǎn)化得思想方法在解方程中的應(yīng)用．