Question

【題目】已知A（a，0），B（0，b），且a、b滿足.

（1）填空：a= ，b= ；

（2）如圖1，將ΔAOB沿x軸翻折得ΔAOC，D為線段AB上一動點，OE⊥OD交AC于點E，求S四邊形ODAE。

（3）如圖2，D為AB上一點，過點B作BF⊥OD于點G，交x軸于點F，點H為x軸正半軸上一點，∠BFO=∠DHO，求證：AF=OH.

Answer 1

【答案】(1)a=-3,b=3;(2)4.5;(3)見解析.

【解析】

（1）根據二次根式的性質及絕對值的非負性可得：a+3=0，a+b=0，求出a、b即可；

（2）根據條件先證明△BOD≌△AOE，然后將四邊形ODAE的面積轉化為△AOB的面積進行計算即可；

（3）過點O作OP平分∠AOB交BF于P，先證明△BOP≌△OAD，推出OP=AD，再證明△PFO≌△DHA，利用全等的性質即可得出結論.

解：（1）∵a、b滿足，

∴a+3=0，a+b=0，

∴a=－3，b=3；

（2）∵由（1）知：A（－3，0），B（0，3）

∴OA=OB=3

∵△AOB沿x軸翻折得△AOC

∴OA=OB=OC，∠AOB＝∠AOC=90°

∴∠ABO＝∠BAO=∠CAO=45°

又∵OE⊥OD，且∠BOD+∠AOD =∠AOB=90°

∴∠AOE+∠AOD=∠BOD+∠AOD=90°

∴∠AOE=∠BOD

∵∠DBO＝∠EAO，OB＝OA,∠BOD＝∠AOE

∴△BOD≌△AOE（ASA）

∴S△AOE=S△BOD

∴S四邊形ODAE＝S△AOE + S△AOD = S△BOD + S△AOD =S△AOB＝；

（3）過點O作OP平分∠AOB交BF于P，

∵OP平分∠AOB且OA=OB

∴∠AOP=∠BOP=45°

∴∠AOP=∠BOP=∠OAD

∵BG⊥OD

∴∠OBP+∠BOG=90°

又∵∠AOD+∠BOG=90°

∴∠OBP=∠AOD

∵OB＝OA

∴△BOP≌△OAD（ASA）

∴OP=AD

又∵∠PFO=∠DHO，∠FOP=∠HAD=45°

∴△PFO≌△DHA（AAS）

∴OF＝AH

∴OF－OA=AH－OA，即AF＝OH.