Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)D，開(kāi)口向下的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，且其頂點(diǎn)P在⊙C上．
（1）求∠ADB的大�。�
（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）試確定此拋物線的解析式；
（4）若點(diǎn)M是y軸上一點(diǎn)，以點(diǎn)M，A，C為頂點(diǎn)作平行四邊形，該平行四邊形的另一頂點(diǎn)N在第（3）題的拋物線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)以及圓的半徑為2，解直角三角形求出∠ACE=60°，從而得到∠ACB=120°，再根據(jù)同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半求出∠APB的度數(shù)，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)求解即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出AE=BE=

3

，然后求出OA、OB的長(zhǎng)度，寫(xiě)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)圓與拋物線的對(duì)稱(chēng)性寫(xiě)出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3），再設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式解析式為y=a（x-1）²+3，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入求出a的值，即可得解；
（4）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，m），再分①AC是平行四邊形的邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)N在拋物線上，代入拋物線解析式計(jì)算即可得解，②AC是對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分先表示出平行四邊形的中心坐標(biāo)，再表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)N在拋物線上，代入拋物線解析式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵點(diǎn)C（1，1），⊙C的半徑為2，
∴cos∠ACE=

CE

AC

=

1

2

，
∴∠ACE=60°，
∴∠ACB=2∠ACE=2×60°=120°，
根據(jù)圓周角定理可得∠APB=

1

2

∠ACB=

1

2

×120°=60°，
所以，∠ADB=180°-∠APB=180°-60°=120°；

（2）在Rt△ACE中，根據(jù)勾股定理，AE=

AC2-CE2

=

22-12

=

3

，
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，BE=AE=

3

，
所以，OA=

3

-1，OB=

3

+1，
所以，點(diǎn)A（1-

3

，0），B（

3

+1，0）；

（3）∵拋物線的頂點(diǎn)P在⊙C上，圓的半徑為2，圓心C的坐標(biāo)（1，1），
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+3，
則a（

3

+1-1）²+3=0，
解得a=-1，
所以，拋物線解析式為y=-（x-1）²+3；

（4）∵點(diǎn)M在y軸上，
∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，m），

①AC是平行四邊形的邊時(shí)，如圖1，點(diǎn)N在x軸下方是，坐標(biāo)為（-

3

，m-1），
∵點(diǎn)N在拋物線上，
∴-（-

3

-1）²+3=m-1，
解得m=-2

3

，
所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-2

3

），
點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，坐標(biāo)為（

3

，m+1），
∵點(diǎn)N在拋物線上，
∴-（

3

-1）²+3=m+1，
解得m=2

3

-2，
所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2

3

-2）；
②AC是對(duì)角線時(shí)，∵點(diǎn)A（1-

3

，0），C（1，1），
∴平行四邊形的中心坐標(biāo)為（1-

3

2

，

1

2

），
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2（1-

3

2

）=2-

3

，
縱坐標(biāo)為

1

2

×2-m=1-m，
所以，N（2-

3

，1-m），
∵點(diǎn)N在拋物線上，
∴-（2-

3

-1）²+3=1-m，
解得m=2-2

3

，
所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2-2

3

），
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-2

3

）或（0，2

3

-2）或（0，2-2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要涉及解直角三角形，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，勾股定理的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及平行四邊形的性質(zhì)，（3）用拋物線的頂點(diǎn)式解析式比較簡(jiǎn)單，（4）要注意分AC是平行四邊形的邊與對(duì)角線兩種情況討論求解，用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．