Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y=x+1交x軸于點A，交y軸于點B，點A₁、A₂、A₃，…在x軸上，點B₁、B₂、B₃，…在直線l上．若△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…均為等邊三角形，則△A₅B₆A₆的周長是

1. A.
   24
2. B.
   48
3. C.
   96
4. D.
   192

Answer 1

C
分析：首先求得點A與B的坐標，即可求得∠OAB的度數(shù)，又由△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均為等邊三角形，易求得OB₁=OA=，A₁B₁=A₁A，A₂B₂=A₂A，則可得規(guī)律：OA_n=（2ⁿ-1）．根據(jù)A₅A₆=OA₆-OA₅求得△A₅B₆A₆的邊長，進而求得周長．
解答：∴點A（-，0），點B（0，1），
∴OA=，OB=1，
∴tan∠OAB==，
∴∠OAB=30°，
∵△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均為等邊三角形，
∴∠A₁OB₁=∠A₂A₁B₂=∠A₃A₂B₃=60°，
∴∠OB₁A=∠A₁B₂A=∠A₂B₃A=∠OAB=30°，
∴OB₁=OA=，A₁B₂=A₁A，A₂B₃=A₂A，
∴OA₁=OB₁=，OA₂=OA₁+A₁A₂=OA₁+A₁B₁=+2=3，
同理：OA₃=7，OA₄=15，OA₅=31，OA₆=63，
則A₅A₆=OA₆-OA₅=32．
則△A₅B₆A₆的周長是96，
故選C．
點評：此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的知識．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．