Question

12．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點E為邊AD上的一個動點（與點A、D不重合），∠EBM=45°，BE交對角線AC于點F，BM交于AC于點G，交CD于點M．
（1）求DE：CG的值；
（2）設(shè)AE=x，S_△BEG=y．
①求y關(guān)于x的函數(shù)表達式及x的取值范圍．
②當(dāng)圖中點E、M關(guān)于對角線BD成軸對稱時，求y的值．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD為正方形，得到∠BDE=∠BCG=∠CBD=45°，BD=$\sqrt{2}$BC，再由∠EBM=45°，利用等式的性質(zhì)得到一對角相等，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形BDE與三角形BCG相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出所求；
（2）①由四邊形ABCD為正方形，且三角形BDE與三角形BCG相似，得到對應(yīng)邊成比例，進而確定出三角形BEG與三角形BAD相似，得到三角形BEG為等腰直角三角形，表示出y與x的函數(shù)解析式即可；
②若E、M關(guān)于對角線BD成軸對稱，連接EM，交AC于點H，可得BD垂直平分EM，BE為角平分線，進而得到AE=HE=DH，求出x的值，代入計算即可求出y的值．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BDE=∠BCG=∠CBD=45°，BD=$\sqrt{2}$BC，
∵∠EBM=45°，
∴∠DBE=∠CBG，
∴△BDE∽△BCG，
∴DE：CG=BD：BC=$\sqrt{2}$：1；
（2）①∵四邊形ABCD是正方形，且△BDE∽△BCG，
∴BE：BG=BD：BC=BD：AB=$\sqrt{2}$：1，
∴△BEG∽△BAD，
∴△BEG為等腰直角三角形，
∴y=S_△BEG=$\frac{1}{4}$x²+9（0＜x＜6）；
②若E、M關(guān)于對角線BD成軸對稱，連接EM，交BD于點H，
∴BD垂直平分EM，BE平分∠ABD，
∴AE=HE=DH，DE=$\sqrt{2}$HE，
∴6-x=$\sqrt{2}$x，即x=6$\sqrt{2}$-6，
則y=$\frac{1}{4}$×（6$\sqrt{2}$-6）²+9=36-18$\sqrt{2}$．

點評 此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．