Question

如圖，AB是半⊙O的直徑，CD切半⊙O于點C，P是△OAC的重心，且OP=

2

3

，CD=

3

，BD=1．則圖中陰影部分的面積為

 

．

Answer 1

考點：切線的性質,扇形面積的計算

專題：

分析：延長OP交AC于點E，則可求得OE=1，連接BC，可求得BC=2，在△BCD中可求得其為直角三角形，且∠DCB=∠A=30°可求得AO及∠AOC的大小，利用面積公式可求得答案．

解答：解：
如圖，延長OP交AC于點E，
∵P是△OAC的重心，且OP=

2

3

，
∴OE=1，且E為AC中點，
連接BC，則OE為△ABC的中位線，
∴BC=2OE=2，
在△BCD中，BC=2，BD=1，CD=

3

，滿足BC²=BD²+CD²，
∴△BCD為直角三角形，且∠BCD=30°，
∵DC為⊙O的切線，
∴∠CAO=30°，
∴∠AOE=60°，AO=2OE=2，AE=

3

，
∴∠AOC=120°，AC=2AE=2

3

，
∴S_扇形AOC=

1

3

πOA²=

4

3

π，S_△AOC=

1

2

AC•OE=

1

2

×2

3

×1=

3

，
∴S_陰影=S_扇形AOC-S_△AOC=

4

3

π-

3

，
故答案為：

4

3

π-

3

．

點評：本題主要考查切線的性質及扇形的面積的計算，由條件求得△BCD為直角三角形，求得∠CAO=30°是解題的關鍵．