Question

6．如圖，AB為⊙O的弦，點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)P為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接PD，得到PD=PE．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）當(dāng)AB經(jīng)過圓心O時(shí)，連接BC，若tan∠BCD=2，求tan∠APD．

Answer 1

分析 （1）連接OC、OD，根據(jù)垂徑定理得到OC⊥AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明∠PDO=90°即可；
（2）連接AD、BD，根據(jù)正切的性質(zhì)得到$\frac{BD}{AD}$=2，設(shè)PA=a，求出PD、OD，根據(jù)正切的概念解答即可．

解答 （1）證明：如圖2，連接OC、OD，
∵點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)，
∴OC⊥AB，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵PD=PE，
∴∠PDE=∠PED，又∠PED=∠CEO，
∴∠PDE+∠ODC=90°，即∠PDO=90°，
∴PD是⊙O的切線；
（2）如圖1，連接AD、BD，
∵∠DAB=∠DCB，
∴tan∠DAB=2，
∴$\frac{BD}{AD}$=2，
∵PD是⊙O的切線，
∴∠PBD=∠ADP，又∠P=∠P，
∴△APD∽△DPB，
∴$\frac{PA}{PD}$=$\frac{PD}{PB}$=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)PA=a，則PD=2a，PB=4a，
則AB=3a，
∴tan∠APD=$\frac{OD}{PD}$=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是切線的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用，經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．