Question

在△ABC中，AD是∠A的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點，請說明PB+PC與AB+AC的大小關系并寫出證明過程．

Answer 1

分析：可在BA的延長線上取一點E，使AE=AC，得出△ACP≌△AEP，從而將四條不同的線段轉化到一個三角形中進行求解，即可得出結論．

解答：解：PB+PC＞AB+AC（2分）
如圖，在BA的延長線上取一點E，使AE=AC，連接EP．（4分）
由AD是∠BAC的外角平分線，可知∠CAP=∠EAP，
又AP是公共邊，AE=AC，
在△ACP和△AEP中

AE=AC ∠EAP=∠PAC AP=AP

∴△ACP≌△AEP（SAS）
從而有PC=PE，在△BPE中，PB+PE＞BE（7分）
而BE=AB+AE=AB+AC，（8分）
故PB+PE＞AB+AC，
所以PB+PC＞AB+AC（10分）

點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質及三角形的三邊關系，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊．