Question

【題目】如圖1，四邊形是矩形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.

（1）當(dāng)時(shí)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為________；

（2）當(dāng)與相似時(shí)，求的值；

（3）當(dāng)時(shí)，拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，如圖2所示.問(wèn)該拋物線上是否存在點(diǎn)，使，若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）的中點(diǎn)坐標(biāo)是；（2）或；（3），.

【解析】（1）先根據(jù)時(shí)間t=2，和速度可得動(dòng)點(diǎn)P和Q的路程OP和AQ的長(zhǎng)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得結(jié)論；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得：∠B=∠PAQ=90°，所以當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時(shí)，存在兩種情況：

①當(dāng)△PAQ∽△QBC時(shí)，，②當(dāng)△PAQ∽△CBQ時(shí)，，分別列方程可得t的值；

（3）根據(jù)t=1求拋物線的解析式，根據(jù)Q（3，2），M（0，2），可得MQ∥x軸，∴KM=KQ，KE⊥MQ，畫(huà)出符合條件的點(diǎn)D，證明△KEQ∽△QMH，列比例式可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，同理根據(jù)對(duì)稱(chēng)可得另一個(gè)點(diǎn)D．

（1）如圖1，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），

∴OA=3，

當(dāng)t=2時(shí)，OP=t=2，AQ=2t=4，

∴P（2，0），Q（3，4），

∴線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為：（，），即（，2）；

故答案為：（，2）；

（2）如圖1，∵四邊形OABC是矩形，

∴∠B=∠PAQ=90°

∴當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時(shí)，存在兩種情況：

①當(dāng)△PAQ∽△QBC時(shí)，，

∴，

4t2-15t+9=0，

（t-3）（t-）=0，

t1=3（舍），t2=，

②當(dāng)△PAQ∽△CBQ時(shí)，，

∴，

t2-9t+9=0，

t=，

∵0≤t≤6，＞7，

∴x=不符合題意，舍去，

綜上所述，當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時(shí)，t的值是或；

（3）當(dāng)t=1時(shí)，P（1，0），Q（3，2），

把P（1，0），Q（3，2）代入拋物線y=x2+bx+c中得：

，解得：，

∴拋物線：y=x2-3x+2=（x-）2-，

∴頂點(diǎn)k（，-），

∵Q（3，2），M（0，2），

∴MQ∥x軸，

作拋物線對(duì)稱(chēng)軸，交MQ于E，

∴KM=KQ，KE⊥MQ，

∴∠MKE=∠QKE=∠MKQ，

如圖2，∠MQD=∠MKQ=∠QKE，設(shè)DQ交y軸于H，

∵∠HMQ=∠QEK=90°，

∴△KEQ∽△QMH，

∴，

∴，

∴MH=2，

∴H（0，4），

易得HQ的解析式為：y=-x+4，

則，

x2-3x+2=-x+4，

解得：x1=3（舍），x2=-，

∴D（-，）；

同理，在M的下方，y軸上存在點(diǎn)H，如圖3，使∠HQM=∠MKQ=∠QKE，

由對(duì)稱(chēng)性得：H（0，0），

易得OQ的解析式：y=x，

則，

x2-3x+2=x，

解得：x1=3（舍），x2=，

∴D（，）；

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：D（-，）或（，）．