Question

【題目】如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，3）．將正方形ABCO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交線段OC于點(diǎn)G，ED的延長線交線段BC于點(diǎn)P，連AP、AG．

（1）求證：△AOG≌△ADG；

（2）求∠PAG的度數(shù)；并判斷線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由；

（3）當(dāng)∠1=∠2時(shí)，求直線PE的解析式；

（4）在（3）的條件下，直線PE上是否存在點(diǎn)M，使以M、A、G為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明過程見解析；(2)PG=OG+BP；理由見解析；(3)y=x﹣3；(4)（0，﹣3）或（2，3）．

【解析】試題分析：(1)由AO=AD，AG=AG，根據(jù)斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，判斷出△AOG≌△ADG即可．(2)首先根據(jù)三角形全等的判定方法，判斷出△ADP≌△ABP，再結(jié)合△AOG≌△ADG，可得∠DAP=∠BAP，∠1=∠DAG；然后根據(jù)∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，求出∠PAG的度數(shù)；最后判斷出線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系即可．(3)首先根據(jù)△AOG≌△ADG，判斷出∠AGO=∠AGD；然后根據(jù)∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，判斷出當(dāng)∠1=∠2時(shí)，∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，求出∠1=∠2=30°；最后確定出P、G兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷出直線PE的解析式．

(4)根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)M在x軸的負(fù)半軸上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)M在EP的延長線上時(shí)；根據(jù)以M、A、G為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求出M點(diǎn)坐標(biāo)是多少即可．

試題解析：(1)在Rt△AOG和Rt△ADG中，（HL） ∴△AOG≌△ADG．

(2)在Rt△ADP和Rt△ABP中，∴△ADP≌△ABP， 則∠DAP=∠BAP；

∵△AOG≌△ADG， ∴∠1=∠DAG； 又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，

∴2∠DAG+2∠DAP=90°， ∴∠DAG+∠DAP=45°， ∵∠PAG=∠DAG+∠DAP， ∴∠PAG=45°；

∵△AOG≌△ADG， ∴DG=OG， ∵△ADP≌△ABP， ∴DP=BP， ∴PG=DG+DP=OG+BP．

(3)解：∵△AOG≌△ADG， ∴∠AGO=∠AGD， 又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，

∴∠AGO=∠PGC， 又∵∠AGO=∠AGD， ∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，

又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°， ∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=180°÷3=60°，

∴∠1=∠2=90°﹣60°=30°； 在Rt△AOG中， ∵AO=3， ∴OG=AOtan30°=3×=，

∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），CG=3﹣， 在Rt△PCG中，PC===3（﹣1），

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，3﹣3 ）， 設(shè)直線PE的解析式為：y=kx+b， 則，

解得：， ∴直線PE的解析式為y=x﹣3．

(4)①如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，， ∵AG=MG，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，3），

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，﹣3）．

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在EP的延長線上時(shí)，， 由（3），可得∠AGO=∠PGC=60°，

∴EP與AB的交點(diǎn)M，滿足AG=MG， ∵A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是0，G點(diǎn)橫坐標(biāo)為，

∴M的橫坐標(biāo)是2，縱坐標(biāo)是3， ∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，3）．

綜上，可得 點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，﹣3）或（2，3）．