Question

4．已知一個(gè)兩位數(shù)$\overline{pq}$，（p為十位數(shù)，q為個(gè)位數(shù)）使得二次函數(shù)y=x²+qx+p的圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，且S_△ABC=$\overline{1}$，則符合條件的兩位數(shù)pq為34，86．

Answer 1

分析 令拋物線(xiàn)y=0，運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離和根與系數(shù)的關(guān)系求出AB長(zhǎng)度，運(yùn)用頂點(diǎn)公式求出三角形的高，根據(jù)題意列方程求解即可．

解答 解：二次函數(shù)y=x²+qx+p，當(dāng)y=0時(shí)，
x²+qx+p=0，設(shè)方程的兩個(gè)根為：x₁，x₂，
則有AB=|x₁-x₂|=$\sqrt{{q}^{2}-4p}$，
y=x²+qx+p的頂點(diǎn)為：（$-\frac{q}{2}$，$\frac{4p-{q}^{2}}{4}$），
此時(shí)，△ABC的高為：-$\frac{4p-{q}^{2}}{4}$，
∵S_△ABC=1，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{q}^{2}-4p}$×（-$\frac{4p-{q}^{2}}{4}$）=1，
解得：q²-4p=4，
此時(shí)q=2$\sqrt{p+1}$，
∵p，q為非負(fù)整數(shù)，且p≠0，
∴p=3，或p=8，
此時(shí)q=4，或q=6，
∴符合條件的兩位數(shù)pq為：34或86；
故答案為：34，86．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，會(huì)結(jié)合方程的根求拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的距離，會(huì)求拋物線(xiàn)頂點(diǎn)，會(huì)根據(jù)等式進(jìn)行合理性分析是解題的關(guān)鍵．