Question

已知：如圖，⊙A與y軸交于C、D兩點(diǎn)，圓心A的坐標(biāo)為（1，0），⊙A的半徑為，過(guò)C作⊙A的切線交x軸于點(diǎn)B．
（1）求切線BC的解析式；
（2）若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)⊙A上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙A的切線與直線BC相交于點(diǎn)G，且∠CGP=120°，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）向左移動(dòng)⊙A（圓心A始終保持在x軸上），與直線BC交于E、F，在移動(dòng)過(guò)程中是否存在點(diǎn)A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，由勾股定理可求出OC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo)，同理，由切線的性質(zhì)及勾股定理即可得出OB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可求出過(guò)BC兩點(diǎn)的直線解析式；
（2）過(guò)G點(diǎn)作x軸垂線，垂足為H，連接AG，設(shè)G（x，y），在Rt△ACG中利用銳角三角函數(shù)的定義可求出CG的長(zhǎng)，
由勾股定理可得出BC的長(zhǎng)，由OC∥GH可得出=，進(jìn)而可求出G點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）假設(shè)△AEF為直角三角形，由AE=AF可判斷出△AEF為等腰三角形，可得出∠EAF=90°，過(guò)A作AM⊥BC于M，
在Rt△AEF中利用勾股定理可求出EF的長(zhǎng)度，證出△BOC∽△BMA，由相似三角形的性質(zhì)可得出A點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)圓心A在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，設(shè)圓心為A′，過(guò)A′作A′M′⊥BC于M′，可得△A′M′B′≌△AMB，由全等三角形的性質(zhì)可得出A′點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）連接AC，則OC==2，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），
∵BC為⊙O的切線，
∴AC⊥BC，
在Rt△ABC中，（OB+OA）²=BC²+AC²，即（OB+1）²=BC²+5①，
在Rt△OBC中，BC²=OB²+OC²，即OBC²=OB²+4②，
①②聯(lián)立得，OB=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，0）
∴直線BC的解析式為y=x+2；

（2）如圖1：
解法一：過(guò)G點(diǎn)作x軸垂線，垂足為H，連接AG，設(shè)G（x，y），
在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=，求得CG=，
又∵OB=4，
∴BC==2，
∵OC∥GH，
∴=，則OH=，即x=，
又∵點(diǎn)G在直線BC上，
∴y=×+2
=+2，
∴G（，+2），
解法二：過(guò)G點(diǎn)作y軸垂線，垂足為H，連接AG
在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=，求得CG=，
由△BCO∽△GCH，得==，
即GH=2CH，
在Rt△CHG中，CG=，GH=2CH，得CH=，HG=，
∴G（，+2）；

（3）方法一
如圖2：
在移動(dòng)過(guò)程中，存在點(diǎn)A，使△AEF為直角三角形．
若△AEF為直角三角形
∵AE=AF
∴△AEF為等腰三角形，
∴∠AEF=∠AFE≠90°，
∴∠EAF=90°，
過(guò)A作AM⊥BC于M，
在Rt△AEF中，EF===，
AM=EF=，
證出△BOC∽△BMA得，=，
而BC===2，OC=2，可得AB=
∴OA=4-，
∴A（-4+，0），
當(dāng)圓心A在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，設(shè)圓心為A′，
過(guò)A′作A′M′⊥BC于M′，可得△A′M′B′≌△AMB，
∴A′B=AB=，
∴OA′=OB+A′B=4+，
∴A′（-4-，0），
∴A（-4+，0）或A′（-4-，0）
方法二：
如圖3，
在移動(dòng)過(guò)程中，存在點(diǎn)A，使△AEF為直角三角形
若△AEF為直角三角形
∵AE=AF
∴△AEF為等腰三角形
∴∠AEF=∠AFE≠90°
∴∠EAF=90°（11分）
過(guò)F作FM⊥x軸于M，EN⊥x軸于N，EH⊥MF于H
設(shè)AN=x，EN=y
由△AEN≌△FAM
可得AM=y，F(xiàn)M=x
FH=x-y
EH=x+y，由===，即=，
∴x=3y
在Rt△AEN中，
x²+y²=（）²
x²+y²=5，
解得，
又∵===，
∴BN=2y，BN=，
∴AB=+=，
∴OA=4-，
∴A（-4+，0），
以下同解法一，得A′（-4-，0）．（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，涉及面較廣，難度較大．