Question

已知二次函數(shù)y=a（a+1）x²-（2a+1）x+1．
（1）當(dāng)此函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點時，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a為正整數(shù)時，設(shè)此函數(shù)的圖象與x軸相交于A、B兩點，求線段AB的長；
（3）若a依次取1，2…，2010時，函數(shù)的圖象與x軸相交所截得的2010條線段為A₁B₁，A₂B₂，…，A₂₀₁₀B₂₀₁₀，試求它們的長的和．

Answer 1

分析：（1）利用根的判別式與二次函數(shù)的定義解答即可；
（2）利用兩點之間的距離公式以及根與系數(shù)的關(guān)系解答即可；
（3）順次代入（2）中的通項，利用數(shù)的規(guī)律解決問題．

解答：解：（1）依題意a的取值必須滿足

(2a+1)2-4a(a+1)＞0 a(a+1)≠0

，
解得a為不等于0和-1的任意實數(shù)；
（2）設(shè)A、B兩點坐標(biāo)為A（x₁，0）、B（x₂，0），則x₁，x₂是方程a（a+1）x²-（2a+1）x+1=0的兩個不等實根，
則AB的長為|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

①
∵x1+x2=

2a+1

a(a+1)

，x1x2=

1

a(a+1)

，
代入①式得|AB|=

[ 2a+1 a(a+1) ]2- 4 a(a+1)

=

1

|a(a+1)|

；
∵a為正整數(shù)，
∴|AB|=

1

a(a+1)

；
（3）當(dāng)a依次取1，2，…，2010時，所截得的線段長分別為|A1B1|=

1

1×2

，|A2B2|=

1

2×3

，…
，|A2010B2010|=

1

2010×2011

，
∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₀B₂₀₁₀|，
=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2010×2011

，
=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

2010

-

1

2011

)，
=1-

1

2011

，
=

2010

2011

．

點評：此題考查二次函數(shù)圖象與x軸交點坐標(biāo)的特征、根與系數(shù)的關(guān)系、兩點之間的距離公式以及運用數(shù)的規(guī)律靈活計算．