Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）如圖①，當AC=BC時，求證：DE=AD+BE；
（2）如圖②，當AC：BC=2：1時，（1）中的等量關系是否成立．若成立，請說明理由，若不成立，寫出DE，AD，BE具有的等量關系，并證明你的結論；
（3）當AC：BC=k時，直接寫出DE，AD，BE具有的等量關系．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）通過條件證明△ADC≌△CEB就可以得出結論；
（2）通過條件證明△ADC∽△CEB就可以得出結論

AD

CE

=

AC

CB

=

DC

EB

，再由AC：BC=2：1就可以求出結論；
（3）通過條件證明△ADC∽△CEB就可以得出結論

AD

CE

=

AC

CB

=

DC

EB

，再由AC：BC=k就可以求出結論；

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°．
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB．
在△ADC和△CEB中，

∠ADC=∠BEC ∠DAC=∠ECB AC=BC

，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE．
∵DE=DC+CE，
∴DE=BE+AD；

（2）如圖2，∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°．
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB．
∴△ADC∽△CEB，
∴

AD

CE

=

AC

CB

=

DC

EB

．
∵AC：BC=2：1，
∴DC=2EB，AD=2CE，
∴CE=

1

2

AD．
∵DE=DC+CE，
∴DE=2BE+

1

2

AD；

（3）∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°．
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB．
∴△ADC∽△CEB，
∴

AD

CE

=

AC

CB

=

DC

EB

．
∵AC：BC=k，
∴DC=kEB，AD=kCE，
∴CE=

1

k

AD．
∵DE=DC+CE，
∴DE=kBE+

1

k

AD．

點評：本題直角三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，相似三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等和相似是關鍵．