Question

如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)H在BC上，連接DH交正方形對(duì)角線AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作DH的垂線交線段AB、CD于點(diǎn)F、G。

（1）求證：

（2）判斷DH、FG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）在圖1中，延長(zhǎng)FG與BC交于點(diǎn)P，連接DF、DP（如圖2），試探究DF與DP的關(guān)系，并說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：如圖

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，∠DCB=∠BAD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD

∴∠1=∠3，∠2+∠4=90°

∵DH⊥FG，

∴∠DEG=90°

∴∠3+∠4=90°，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠2．

（2）DH=FG

證明：過(guò)點(diǎn)F作FP垂直于DC，垂足為P，

∴∠FPD=90°，

∵∠BAD=∠ADC=∠FPG=90°，

∴四邊形AFPD是矩形，

∴AD=FP，

∴∠2=∠3，∠FPG=∠BCD，F(xiàn)P=CD，

∴△FPG≌△DCH，

∴PF=DC

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)E分別作AD、BC的垂線，交AD、BC于點(diǎn)M、N，交AB、CD于點(diǎn)R、T．

∵點(diǎn)E在AC上，可得四邊形AREM、ENCT是正方形．

∴△FRE≌△DME≌△ENP，

∴FE=DE=EP，

又∵DE⊥FP，

∴DF與DP的關(guān)系為相等且垂直

【解析】（1）由正方形的性質(zhì)和已知條件可以求出∠BCD=∠DEG=90°，可以得出∠2=∠3，由AB∥CD可以得出∠1=∠3，從而可以得出結(jié)論．

（2）過(guò)點(diǎn)F作FP垂直于DC，垂足為P，在正方形中易證PF=DC，再證△FPG≌△DCH可證 DH=FG．

（3）因?yàn)檎�方形的四個(gè)邊相等，四個(gè)角都是直角，所以很容易證明△FRE≌△DME≌△ENP所以FE=DE=EP，DE⊥FP，從而DF與DP的關(guān)系為相等且垂直．