【題目】如圖在Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),且∠A+∠CDB=90°,過(guò)點(diǎn)A、D作⊙O,使圓心O在AB上,⊙O與AB交于點(diǎn)E.
(1)求證:直線BD與⊙O相切;
(2)若AD:AE=4:5,BC=6,求⊙O的直徑.
【答案】(1)、證明過(guò)程見解析;(2)、5.
【解析】
試題分析:(1)、連接OD,根據(jù)△AOD為等腰三角形可得∠A=∠ODA,根據(jù)∠A+∠CDB=90°可得∠ODA+∠CDB=90°,從而得出∠BDO=90°;(2)、連接OE,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得出∠ADE=90°,根據(jù)D為中點(diǎn)可得E為AB的中點(diǎn),根據(jù)△ADE和△ACB相似可得AC:AB=4:5,然后求出BC的長(zhǎng)度,從而得出直徑的長(zhǎng)度.
試題解析:(1)、連接OD,在△AOD中,OA=OD, ∴∠A=∠ODA,
又∵∠A+∠CDB=90° ∴∠ODA+∠CDB=90°, ∴∠BDO=180°-90°=90°,即OD⊥BD,
∴BD與⊙O相切.
(2)、連接DE,∵AE是⊙O的直徑, ∴∠ADE=90°, ∴DE∥BC.
又∵D是AC的中點(diǎn),∴AE=BE. ∴△AED∽△ABC.
∴AC∶AB=AD∶AE. ∵AD:AE=4:5 ∴AC∶AB=4∶5,
令AC=4x,AB=5x,則BC=3x. ∵BC=6,∴AB=10,
∴AE=5,∴⊙O的直徑為5.
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