Question

15．閱讀下列材料：
某同學在計算3（4+1）（4²+1）時，把3寫成4-1后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運用平方差公式計算：3（4+1）（4²+1）=（4-1）（4+1）（4²+1）=（4²-1）（4²+1）=16²-1．請借鑒該同學的經(jīng)驗，計算下列各式的值：
（1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）
（2）$（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{2^2}）（1+\frac{1}{2^4}）（1+\frac{1}{2^8}）+\frac{1}{{{2^{15}}}}$
（3）$（1-\frac{1}{2^2}）（1-\frac{1}{3^2}）（1-\frac{1}{4^2}）…（1-\frac{1}{{{{100}^2}}}）$．

Answer 1

分析 （1）在前面乘一個（2-1），然后再連續(xù)利用平方差公式計算；
（2）在前面乘一個2×（1-$\frac{1}{2}$），然后再連續(xù)利用平方差公式計算；
（3）把每個因式逆用平方差公式分解，然后根據(jù)乘法結(jié)合率和有理數(shù)的乘法計算即可．

解答 解：（1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁰⁴+1）
=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁰⁴+1）
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁰⁴+1）
=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁰⁴+1）
=2⁴⁰⁰⁸-1；
（2）$（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{2^2}）（1+\frac{1}{2^4}）（1+\frac{1}{2^8}）+\frac{1}{{{2^{15}}}}$
=2×（1-$\frac{1}{2}$）$（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{2^2}）（1+\frac{1}{2^4}）（1+\frac{1}{2^8}）+\frac{1}{{{2^{15}}}}$
=2×（1-$\frac{1}{{2}^{16}}$）+$\frac{1}{{2}^{15}}$
=2-$\frac{1}{{2}^{15}}$+$\frac{1}{{2}^{15}}$
=2；
（3）$（1-\frac{1}{2^2}）（1-\frac{1}{3^2}）（1-\frac{1}{4^2}）…（1-\frac{1}{{{{100}^2}}}）$
=（1-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{3}$）（1+$\frac{1}{3}$）…（1-$\frac{1}{100}$）（1+$\frac{1}{100}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$×…×$\frac{99}{100}$×$\frac{101}{100}$
=$\frac{1}{2}$×$\frac{101}{100}$，
=$\frac{101}{200}$．

點評 本題考查了平方差公式的運用，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．