【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過A(-1,0),B(1,1)兩點.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)閱讀理解:
在同一平面直角坐標(biāo)系中,直線l1:y=k1x+b1(k1,b1為常數(shù),且k1≠0),直線l2:y=k2x+b2(k2,b2為常數(shù),且k2≠0),若l1⊥l2,則k1·k2=-1.
解決問題:
①若直線y=3x-1與直線y=mx+2互相垂直,求m的值;
②是否存在點P,使得△PAB是以AB為直角邊的直角三角形?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)M是拋物線上一動點,且在直線AB的上方(不與A,B重合),求點M到直線AB的距離的最大值.
【答案】(1)y=x2+x+1.(2)①m=;②P(6,-14)或(4,-5),(3).
【解析】
試題分析:(1)把A(-1,0),B(1,1)兩點代入y=ax2+bx+1求解;(2)①根據(jù)k1·k2=-1計算;②先求出直線PA的表達式,從而可得與AB垂直的直線的k的值,然后分兩種情況討論:∠PAB=90°與∠PBA=90°,分別求出另一條直角邊所在直線的表達式,與二次函數(shù)表達式聯(lián)立方程組求解,得到點P的坐標(biāo);(3)△ABM的底邊AB不變,當(dāng)△ABM的面積取最大值時,點M到直線AB的距離有最大值,因此把問題轉(zhuǎn)化為求△ABM的面積最大值問題,這樣只要建立關(guān)于△ABM的面積的二次函數(shù)關(guān)系式,再化為頂點式即可.
試題解析:(1)根據(jù)題意得:解得∴y=x2+x+1.
(2)①3m=-1,∴m=;
②設(shè)PA的表達式為y=kx+c,過A(-1,0),B(1,1)兩點的直線表達式為,顯然過點P的直角邊與AB垂直,∴k=-2,∴y=-2x+c.
若∠PAB=90°,把 A(-1,0)代入得0=-2×(-1)+c,解得c=-2,∴y=-2x-2,點P是直線PA與拋物線的交點,聯(lián)立方程組:解得 ∴P(6,-14);
若∠PBA=90°,把B(1,1)代入y=-2x+c,得1=-2×1+c,解得c=3,∴y=-2x+3,點P是直線PB與拋物線的交點,聯(lián)立方程組:解得 ∴P(4,-5).
綜上所述,存在點P(6,-14)或(4,-5),使得△PAB是以AB為直角邊的直角三角形.
(3)設(shè)M(n,n2+n+1),過M作MQ∥y軸,交AB于點Q,則Q(n,).
∴S△ABM=[(n2+n+1)-()]×[1-(-1)]= .當(dāng)n=0時,最大面積為,AB==,設(shè)點M到直線AB距離最大為h,則××h=,∴h=.即點M到直線AB的距離的最大值是.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 如圖,是的弦,切于點垂足為是的半徑,且.
(1)求證:平分;
(2)若點是優(yōu)弧 上一點,且,求扇形的面積(計算結(jié)果保留)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長方形 的頂點 的坐標(biāo)為 ,動點 從原點 出發(fā),以每秒 個單位的速度沿折線 運動,到點 時停止,同時,動點 從點 出發(fā),以每秒 個單位的速度在線段 上運動,當(dāng)一個點停止時,另一個點也隨之停止.在運動過程中,當(dāng)線段 恰好經(jīng)過點 時,運動時間 的值是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)媒體報道,我國因環(huán)境污染造成的巨大經(jīng)濟損失,每年高達860 000 000元,這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為元.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD是菱形,DF⊥AB于點F,BE⊥CD于點E.
(1)求證:AF=CE;
(2)若DE=2,BE=4,求sin∠DAF的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中, 為坐標(biāo)原點,直線 : 與直線 : 交于點 , 與 軸交于 ,與 軸交于點 .
(1)求 的面積;
(2)若點 在直線 上,且使得 的面積是 面積的 ,求點 的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在同一平面內(nèi)利用一副三角板,可以直接畫出的除三角板本身角的度數(shù)以外且小于平角的角度有___(例舉四個即可).
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