Question

2．已知二次函數(shù)y=ax²（a為常數(shù)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，-$\frac{1}{4}$）；點(diǎn)F（0，-1）在y軸上，直線y=1與y軸相交于點(diǎn)H．
（1）求a的值；
（2）點(diǎn)P是二次函數(shù)y=ax²（a為常數(shù)）圖象上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=1交于點(diǎn)M，試說(shuō)明：FM平分∠OFP；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△FPM是等邊三角形時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直接把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²經(jīng)過(guò)點(diǎn)中求出a的值，從而得到而此函數(shù)解析式；
（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)P（x，-$\frac{1}{4}$x²），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出PF=$\frac{1}{4}$x²+1，再表示出MP的長(zhǎng)，則MP=PF，所以∠PMF=∠PFM，然后證明∠PFM=∠HFM即可；
（3）利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠PFM=60°，MP=MF，所以∠HFM=60°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到MF=2HF=4，于是得到方程$\frac{1}{4}$x²+1=4，然后解方程求出x即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，-$\frac{1}{4}$），
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²；
（2）設(shè)P（x，-$\frac{1}{4}$x²），
而F（0，-1）
∴PF=$\sqrt{{x}^{2}+（-\frac{1}{4}{x}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$x²+1，
∵PM⊥直線y=1，
∴M（x，1），
∴MP=1-（-$\frac{1}{4}$x²）=$\frac{1}{4}$x²+1，
∴MP=PF，
∴∠PMF=∠PFM，
∵PM∥y軸，
∴∠PMF=∠HFM，
∴∠PFM=∠HFM，
∴FM平分∠OFP；
（3）∵△FPM是等邊三角形，
∴∠PFM=60°，MP=MF，
∴∠HFM=60°，
在Rt△MHF中，MF=2HF=2×2=4，
∴$\frac{1}{4}$x²+1=4，解得x=±2$\sqrt{3}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，-3）或（-2$\sqrt{3}$，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和等邊三角形的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式；把證明FM平分∠OFP轉(zhuǎn)化為證明PM=PF是解決（2）小題的關(guān)鍵．