Question

在△ABC中，AB=AC，點D在直線BC上（不與點B，C重合）．
（1）線段AD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，且起始位置AD和終止位置AE所成的∠DAE=∠BAC，連接DE、CE，探索∠BCF與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（2）若線段AD繞點A按順時針反向旋轉(zhuǎn)，且起始位置AD和終止位置AE所成的角∠DAE=∠BAC，連接DE、BE，探索∠EBC與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并且加以證明．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）分類討論：當(dāng)點D在線段BC上，如圖1（a），根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AE，再由∠DAE=∠BAC得到∠BAD=∠CAE，則可根據(jù)“SAS”判定△ABD≌△ACE，得到∠ABC=∠ACE，而∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABC，∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，于是得到∠BCE+∠ABC=180°；
當(dāng)點D在BC的延長線上，如圖1（b），同樣可證明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，同樣可得∠BCE+∠ABC=180°；
當(dāng)點D在CB的延長線上，如圖1（c），同樣可證明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠ACB+∠BCE，所以∠BCE=∠BAC；
綜上所述，∠BCE與∠BAC相等或互補；
（2）分類討論：當(dāng)點D在線段BC上，如圖2（a），利用”SAS”證明△ACD≌△ABE，得到∠ACD=∠ABE，由三角形外角性質(zhì)得∠EBC=∠ABE+∠ABC，
則∠EBC=∠ABC+∠ACB，而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，所以∠EBC+∠BAC=180°；
當(dāng)點D在BC的延長線上，如圖2（b），同樣可證明△ABE≌△ACD，得到∠ABE=∠ACD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ABE=∠ABC+∠EBC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
所以∠EBC=∠BAC；
當(dāng)點D在CB的延長線上，如圖2（c），同樣可證明△ABE≌△ACD，得到∠ABE=∠ACD，同樣得到∠EBC+∠BAC=180°．
綜上所述，∠EBC與∠BAC相等或互補．

解答：解：（1）∠BCE與∠BAC相等或互補．理由如下：
當(dāng)點D在線段BC上，如圖1（a），

∵線段AD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到AE，
∴AD=AE，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（sas），
∴∠ABC=∠ACE，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABC，
而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°
∴∠BCE+∠ABC=180°；
當(dāng)點D在BC的延長線上，如圖1（b），

同樣可證明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，
同樣得到∠BCE+∠ABC=180°；
當(dāng)點D在CB的延長線上，如圖1（c），

同樣可證明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠ACB+∠BCE，
∴∠BCE=∠BAC；
綜上所述，∠BCE與∠BAC相等或互補；
（2）∠EBC與∠BAC相等或互補．理由如下：
當(dāng)點D在線段BC上，如圖2（a），

∵∠DAE=∠BAC，
∴∠CAD=∠BAE，
在△ACD和△ABE中，

AC=AB ∠CAD=∠BAE AD=AE

，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠ACD=∠ABE，
∵∠EBC=∠ABE+∠ABC，
∴∠EBC=∠ABC+∠ACB，
而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°
∴∠EBC+∠BAC=180°；
當(dāng)點D在BC的延長線上，如圖2（b），

同樣可證明△ABE≌△ACD，得到∠ABE=∠ACD，
∵∠ABE=∠ABC+∠EBC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∴∠EBC=∠BAC；
當(dāng)點D在CB的延長線上，如圖2（c），

同樣可證明△ABE≌△ACD，得到∠ABE=∠ACD，
∵∠EBC=∠ABE+∠ABC，
∴∠EBC=∠ABC+∠ACB，
而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°
∴∠EBC+∠BAC=180°．
綜上所述，∠EBC與∠BAC相等或互補．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．