Question

如圖所示，在一個(gè)半徑為R的均勻圓形薄金屬片上挖去一個(gè)半徑為

R

2

的小圓孔，且圓孔跟圓板的邊緣相切，求剩余部分的重心位置．

Answer 1

分析：采用挖填轉(zhuǎn)換法：設(shè)金屬片厚為h，密度為ρ．
（1）、假設(shè)剩余部分的重心還在O點(diǎn)不變，則必須在大圓上的對(duì)稱位置再挖去一個(gè)與原來等大的小圓孔，則剩下部分的重力為G′=πR²hρg-2π•（

R

2

）²hρg=

1

2

πR²hρg
（2）、由于左邊挖去了一個(gè)半徑為

R

2

的小圓孔，必須在它的對(duì)應(yīng)位置（左邊）填上一個(gè)半徑為

R

2

的小圓孔，則它的重力為G₂=

1

4

πR²hρg，重心在O₂上，OO₂=

R

2

，設(shè)挖孔后的圓片的重心在O′點(diǎn)，經(jīng)過上面的這一“挖”一“填”，再將1和2綜合在一起，就等效于以O(shè)′為支點(diǎn)的杠桿，由杠桿的平衡條件知，G₂•O₂O=G•OO′，求得OO′的值即可．

解答：解：（采用挖填轉(zhuǎn)換法）
①假設(shè)剩余部分的重心還在O點(diǎn)不變，則必須在大圓上的對(duì)稱位置再挖去一個(gè)與原來等大的小圓孔．
則剩下部分的重力為G′=πR²hρg-2π•（

R

2

）²hρg=

1

2

πR²hρg
如答圖甲（設(shè)金屬片厚為h，密度為p）．
②由于左邊挖去了一個(gè)半徑為

R

2

的小圓孔，必須在它的對(duì)應(yīng)位置（左邊）填上一個(gè)半徑為

R

2

的小圓孔，
則它的重力為G₂=π•（

R

2

）²hρg=

1

4

πR²hρg，重心在O₂上，且OO₂=

R

2

，如圖乙，
設(shè)挖孔后的圓片的重心在O′點(diǎn)，經(jīng)過上面的這一“挖”一“填”，再將①和②綜合在一起，就等效于以O(shè)′為支點(diǎn)的杠桿．
如圖丙，由杠桿的平衡條件得G₂•O₂O=G•OO′，即

1

4

πR²hρg•（

R

2

-OO′）=

1

2

πR²hρg•OO′，解得OO′=

R

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了采用挖填轉(zhuǎn)換法，涉及到物理中的密度知識(shí)，杠桿平衡條件的知識(shí)，是一道跨學(xué)科的題．