Question

如圖所示，在一個半徑為R的均勻圓形薄金屬片上挖去一個半徑為的小圓孔，且圓孔跟圓板的邊緣相切，求剩余部分的重心位置．

Answer 1

【答案】分析：采用挖填轉(zhuǎn)換法：設(shè)金屬片厚為h，密度為ρ．
（1）、假設(shè)剩余部分的重心還在O點不變，則必須在大圓上的對稱位置再挖去一個與原來等大的小圓孔，則剩下部分的重力為G′=πR²hρg-2π•（）²hρg=πR²hρg
（2）、由于左邊挖去了一個半徑為的小圓孔，必須在它的對應(yīng)位置（左邊）填上一個半徑為的小圓孔，則它的重力為G₂=πR²hρg，重心在O₂上，OO₂=，設(shè)挖孔后的圓片的重心在O′點，經(jīng)過上面的這一“挖”一“填”，再將1和2綜合在一起，就等效于以O(shè)′為支點的杠桿，由杠桿的平衡條件知，G₂•O₂O=G•OO′，求得OO′的值即可．
解答：解：（采用挖填轉(zhuǎn)換法）
①假設(shè)剩余部分的重心還在O點不變，則必須在大圓上的對稱位置再挖去一個與原來等大的小圓孔．
則剩下部分的重力為G′=πR²hρg-2π•（）²hρg=πR²hρg
如答圖甲（設(shè)金屬片厚為h，密度為p）．
②由于左邊挖去了一個半徑為的小圓孔，必須在它的對應(yīng)位置（左邊）填上一個半徑為的小圓孔，
則它的重力為G₂=π•（）²hρg=πR²hρg，重心在O₂上，且OO₂=，如圖乙，
設(shè)挖孔后的圓片的重心在O′點，經(jīng)過上面的這一“挖”一“填”，再將①和②綜合在一起，就等效于以O(shè)′為支點的杠桿．
如圖丙，由杠桿的平衡條件得G₂•O₂O=G•OO′，即πR²hρg•（-OO′）=πR²hρg•OO′，解得OO′=．

點評：本題利用了采用挖填轉(zhuǎn)換法，涉及到物理中的密度知識，杠桿平衡條件的知識，是一道跨學(xué)科的題．