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已知:點P是等邊△ABC內任意一點,它到三邊的距離分別為h1、h2、h3,且滿足h1+h2+h3=6,則S△ABC=________.

12
分析:根據等邊三角形的面積可以得到三角形的高等于6,然后根據等邊三角形的高、底邊的一半以及一條邊長構成含30°角的直角三角形,然后求出等邊三角形的邊長,再根據面積公式求解即可.
解答:解:如圖,在等邊△ABC中,AB=BC=AC,
過點A作AD⊥BC,垂足為D,
則BD=CD=BC=AB,
∵S△ABC=AB•h1+BC•h2+AC•h3=BC•AD,
∴AD=h1+h2+h3=6,
在Rt△ABD中,AB2=BD2+AD2
即AB2=(AB)2+62,
AB=4
∴S△ABC=BC•AD=×4×6=12
故答案為:12
點評:本題考查了等邊三角形的三條邊都相等的性質,三線合一的性質,勾股定理的運用,求出等邊三角形的高線的長是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

(2011•金山區(qū)一模)如圖,已知:點P是等邊△ABC的重心,PD=2,那么AB=
4
3
4
3

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科目:初中數學 來源: 題型:

已知:點P是等邊△ABC內任意一點,它到三邊的距離分別為h1、h2、h3,且滿足h1+h2+h3=6,則S△ABC=
 

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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網【老題重現】
求證:等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離和等于一腰上的高.
已知:△ABC中,AB=AC,點P是BC邊上任意一點,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,CD是AB邊上的高線.
求證:PE+PF=CD
證明:連接AP,
∵S△ABP+S△ACP=S△ABC
AB×PE
2
+
AC×PF
2
=
AB×CD
2

∵AB=AC
∴PE+PF=CD

【變式應用】
請利用“類比”和“化歸”兩種方法解答下面問題:
求證:等邊三角形內上任意一點到三邊的距離和等于一邊上的高.
已知:點P是等邊△ABC內任意一點,PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,AH是BC邊上的高線.精英家教網
求證:PD+PE+PF=AH
證明:
方法(一)類比:通過類比上題的思路和方法,模仿上題的“面積法”解決本題.
連接AP,BP,CP
方法(二)化歸:如圖,通過MN在等邊△ABC中構造符合“老題”規(guī)律的等邊△AMN,化“新題”為“老題”,直接利用“老題重現”的結論解決問題.
過點P作MN∥BC,交AB于M,交AC于N,交AH于G.

【提煉運用】
已知:點P是等邊△ABC內任意一點,設到三邊的距離分別為a、b、c,且使得以a、b、c為邊能夠構成三角形.
請在圖中畫出滿足條件的點P一切可能的位置,并對這些位置加以說明.
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科目:初中數學 來源: 題型:

已知:點D是等邊△ABC邊上任意一點,∠ABD=∠ACE,BD=CE.
(1)說明△ABD≌△ACE的理由;  
(2)△ADE是什么三角形?為什么?

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

求證:等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離和等于一腰上的高.
已知:△ABC中,AB=AC,點P是BC邊上任意一點,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,CD是AB邊上的高線.
求證:PE+PF=CD
證明:連接AP,
∵S△ABP+S△ACP=S△ABC
數學公式
∵AB=AC
∴PE+PF=CD

【變式應用】
請利用“類比”和“化歸”兩種方法解答下面問題:
求證:等邊三角形內上任意一點到三邊的距離和等于一邊上的高.
已知:點P是等邊△ABC內任意一點,PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,AH是BC邊上的高線.
求證:PD+PE+PF=AH
證明:
方法(一)類比:通過類比上題的思路和方法,模仿上題的“面積法”解決本題.
連接AP,BP,CP
方法(二)化歸:如圖,通過MN在等邊△ABC中構造符合“老題”規(guī)律的等邊△AMN,化“新題”為“老題”,直接利用“老題重現”的結論解決問題.
過點P作MN∥BC,交AB于M,交AC于N,交AH于G.

【提煉運用】
已知:點P是等邊△ABC內任意一點,設到三邊的距離分別為a、b、c,且使得以a、b、c為邊能夠構成三角形.
請在圖中畫出滿足條件的點P一切可能的位置,并對這些位置加以說明.

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