閱讀材料

如圖①,△ABC與△DEF都是等腰直角三角形,ACB=∠EDF=90°,且點D在AB邊上,AB、EF的中點均為O,連結(jié)BF、CD、CO,顯然點C、F、O在同一條直線上,可以證明△BOF≌△COD,則BF=CD.解決問題:

(1)將圖①中的Rt△DEF繞點O旋轉(zhuǎn)得到圖②,猜想此時線段BF與CD的數(shù)量關系,并證明你的結(jié)論;

(2)如圖③,若△ABC與△DEF都是等邊三角形,AB、EF的中點均為O,上述(1)中的結(jié)論仍然成立嗎?如果成立,請說明理由;如不成立,請求出BF與CD之間的數(shù)量關系;

(3)如圖④,若△ABC與△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中點均為0,且頂角∠ACB=∠EDF=α,請直接寫出的值(用含α的式子表示出來)

 

【答案】

(1)BF=CD.證明詳見解析;(2)不成立,;(3).

【解析】

試題分析:本題是幾何綜合題,考查了旋轉(zhuǎn)變換中相似三角形、全等三角形的判定與性質(zhì).解題關鍵是:第一,善于發(fā)現(xiàn)幾何變換中不變的邏輯關系,即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD;第二,熟練運用等腰直角三角形、等邊三角形、等腰三角形的相關性質(zhì).本題(1)(2)(3)問的解題思路一脈相承,由特殊到一般,有利于同學們進行學習與探究.(1)如答圖②所示,連接OC、OD,證明△BOF≌△COD,即可得到BF=CD;

(2)如答圖③所示,連接OC、OD,可證明△BOF∽△COD,進而求出相似比為 ;(3)如答圖④所示,連接OC、OD,證明△BOF∽△COD,進而可求相似比為.

試題解析:

解:(1)猜想:BF=CD.理由如下:如答圖②所示,連接OC、OD.

∵△ABC為等腰直角三角形,點O為斜邊AB的中點,

∴OB=OC,∠BOC=90°.

∵△DEF為等腰直角三角形,點O為斜邊EF的中點,

∴OF=OD,∠DOF=90°.

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,

∴∠BOF=∠COD.

∵在△BOF與△COD中,

∴△BOF≌△COD(SAS),

∴BF=CD.

(2)答:(1)中的結(jié)論不成立.

如答圖③所示,連接OC、OD.

∵△ABC為等邊三角形,點O為邊AB的中點,

 ,∠BOC=90°

∵△DEF為等邊三角形,點O為邊EF的中點,

,∠DOF=90°.

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,

∴∠BOF=∠COD.

在△BOF與△COD中,

,∠BOF=∠COD,

∴△BOF∽△COD,

 .

(3)如答圖④所示,連接OC、OD.

∵△ABC為等邊三角形,點O為邊AB的中點,

 ,∠BOC=90°

∵△DEF為等邊三角形,點O為邊EF的中點,

,∠DOF=90°.

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,

∴∠BOF=∠COD.

在△BOF與△COD中,

,∠BOF=∠COD,

∴△BOF∽△COD,

 .

考點:幾何圖形變換綜合題.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

閱讀:如圖(1),正方形ABCD的邊AB在x軸上,C、D在拋物線y=-x(x-2)的圖象上,我們稱正方形ABCD內(nèi)接于拋物線y=-x(x-2).拋物線y=-x(x-2)的對稱軸交x軸于點M,設正方形ABCD的邊長為a1,那么a1滿足哪個二元一次方程呢?由對稱性可知M是AB的中點,則AM=
1
2
a1
,AD=a1.易知OM=1,所以OA=1-
1
2
a1
,所以D點坐標為(1-
1
2
a1,a1)
,代入拋物線解析式并化簡可知a1滿足二元一次方程(
1
2
)2a12+a1-1=0
;根據(jù)以上材料探索:(第(1)小題要求寫出過程,其它兩小題只要寫出答案,不必要過程)
(1)如圖(2),若并排兩個正方形內(nèi)接于拋物線y=-x(x-2),則每個正方形的邊長a2滿足的二元一次方程是
 
;
(2)如圖(3),若并排三個正方形內(nèi)接于拋物線y=-x(x-2),則每個正方形的邊長a3滿足的二元一次方程是
 
;
(3)如圖(4),若并排n個正方形內(nèi)接于拋物線y=-x(x-2),則每個正方形的邊長an滿足的二元一次方程是
 

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

(2013•鹽城)閱讀材料
如圖①,△ABC與△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°,且點D在AB邊上,AB、EF的中點均為O,連結(jié)BF、CD、CO,顯然點C、F、O在同一條直線上,可以證明△BOF≌△COD,則BF=CD.
解決問題
(1)將圖①中的Rt△DEF繞點O旋轉(zhuǎn)得到圖②,猜想此時線段BF與CD的數(shù)量關系,并證明你的結(jié)論;
(2)如圖③,若△ABC與△DEF都是等邊三角形,AB、EF的中點均為O,上述(1)中的結(jié)論仍然成立嗎?如果成立,請說明理由;如不成立,請求出BF與CD之間的數(shù)量關系;
(3)如圖④,若△ABC與△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中點均為0,且頂角∠ACB=∠EDF=α,請直接寫出
BFCD
的值(用含α的式子表示出來)

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科目:初中數(shù)學 來源:2012年蘇教版初中數(shù)學七年級下 11.2全等三角形練習卷(解析版) 題型:解答題

閱讀下列材料:

如圖(1)所示,把△ABC沿直線BC移動線段BC那樣長的距離可以變到△ECD的位置;

如圖(2)所示,以BC為軸把△ABC翻折180°,可以變到△DBC的位置;

如圖(3)所示,以點A為中心,把△ABC旋轉(zhuǎn)180°,可以變到△AED的位置.

像這樣,只改變圖形的位置,而不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換. 在全等變換中可以清楚地識別全等三角形的對應元素,以上的三種全等變換分別叫平移變換、翻折變換和旋轉(zhuǎn)變換.

問題:如圖(4),△ABC≌△DEF,B和E、C和F是對應頂點,問通過怎樣的全等變換可以使它們重合,并指出它們相等的邊和角.

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科目:初中數(shù)學 來源:2013年江蘇省鹽城市中考數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

閱讀材料
如圖①,△ABC與△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°,且點D在AB邊上,AB、EF的中點均為O,連結(jié)BF、CD、CO,顯然點C、F、O在同一條直線上,可以證明△BOF≌△COD,則BF=CD.
解決問題
(1)將圖①中的Rt△DEF繞點O旋轉(zhuǎn)得到圖②,猜想此時線段BF與CD的數(shù)量關系,并證明你的結(jié)論;
(2)如圖③,若△ABC與△DEF都是等邊三角形,AB、EF的中點均為O,上述(1)中的結(jié)論仍然成立嗎?如果成立,請說明理由;如不成立,請求出BF與CD之間的數(shù)量關系;
(3)如圖④,若△ABC與△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中點均為0,且頂角∠ACB=∠EDF=α,請直接寫出的值(用含α的式子表示出來)

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