Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝mx2－2mx＋m－1(m＞0)與x軸的交點(diǎn)為A，B，頂點(diǎn)為C，將拋物線在A，C，B之間的部分記為圖象E(A，B兩點(diǎn)除外)．

(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

(2)AB＝6時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線y＝kx＋b(k≠0)與圖象E有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求k的取值范圍．

(3)若橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫整點(diǎn)．

①當(dāng)m＝1時(shí)，求線段AB上整點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

②若拋物線在點(diǎn)A，C，B之間的圖象E與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)(包括邊界)恰有6個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）C(1，－1). （2）＜k＜0，或0＜k＜.（3）3個(gè)或5個(gè)；＜m≤ .

【解析】試題分析：（1）利用配方法將拋物線解析式變形為頂點(diǎn)式即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)AB＝6時(shí)，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是(－2，0)，(4，0)，又因?yàn)轫旤c(diǎn)為(－1，1)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)C與A，C與B時(shí)，分別解得k＝± ，即可得k的取值范圍；（3）①當(dāng)時(shí)m＝1，拋物線表達(dá)式為y＝x2－2x，令y=0，解方程即可得到點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，再數(shù)出線段上的整點(diǎn)數(shù)即可；②拋物線頂點(diǎn)為(1，－1)，則指定區(qū)域的整點(diǎn)的縱坐標(biāo)只能為－1或者0，所以即要求AB線段上(含AB兩點(diǎn))必須有5個(gè)整點(diǎn)；令拋物線解析式為0，,解方程得到用m表示的點(diǎn)、橫坐標(biāo)，根據(jù)題意得不等式解之即可.

試題解析：

⑴原拋物線解析式為y＝mx2－2mx＋m－1(m＞0)，提取公因式并配方得 ，所以該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (1，－1)；

⑵AB＝6時(shí)，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是(－2，0)，(4，0)，又因?yàn)轫旤c(diǎn)為(－1，1)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)C與A，C與B時(shí)，分別解得k＝，所以k的取值范圍為＜k＜0，或0＜k＜.

⑶①當(dāng)m＝1時(shí)，拋物線表達(dá)式為y＝x2－2x，因此A、B的坐標(biāo)分別為(0，0)和(2，0)，則線段AB上的整點(diǎn)有(0，0)，(1，0)，(2，0)共3個(gè).

②拋物線頂點(diǎn)為(1，－1)，則指定區(qū)域的整點(diǎn)的縱坐標(biāo)只能為－1或者0，所以即要求AB線段上(含AB兩點(diǎn))必須有5個(gè)整點(diǎn)；

令y＝mx2－2mx＋m－1＝0，得到A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(，0)，(，0)，即5個(gè)整點(diǎn)是以(1，0)為中心向兩側(cè)分散，

進(jìn)而得到2≤＜3，所以＜m≤ .