Question

6．如圖，在平面直角坐標系中，點A（0，-a²）（a＞0）在y軸的負半軸上，過點A作x軸的平行線，分別交拋物線C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²（x＞0）于點M，交拋物線C₂：y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$（x＞0）于點N，連接OM，ON．
（1）填空：當a=1時，$\frac{AM}{AN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；當a=2時，$\frac{AM}{AN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；當a=3時，$\frac{AM}{AN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；由上可猜想：對于任意正數a，都有$\frac{AM}{AN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；證明你的猜想；
（2）當△OAM和△OAN中有一個是等腰三角形時，S_△OAN-S_△OAM的值；
（3）過點M作y軸平行線交拋物線C₂于點E，過點N作y軸的平行線交拋物線C₁于點F，在y軸上任取一組關于點O對稱的點B，B′，連接BE，BM，B′F，B′N，求S_△BDA與S_△MFN的比值．

Answer 1

分析 （1）當a=1時點A坐標是（0，-1），分別求出-$\frac{1}{2}$x²=-1、-$\frac{1}{4}{x}^{2}$=-1時x的值，可得AM、AN的長度，繼而可得$\frac{AM}{AN}$，當a=2、a=3及任意正數a時，相同作法可得；
（2）△OAM和△OAN中有一個是等腰三角形有兩種可能：①當△OAM為等腰三角形時，AM=OA=-a²，②當△OAN為等腰三角形時，AN=OA，分別求出每種情況下△OAM和△OAN的面積即可；
（3）由M、N兩點的縱坐標-a²表示出ME、NF的長及兩點到y(tǒng)軸距離，進而可得△BDA、△MFN的面積表達式，即可知S_△BDA與S_△MFN的比值．

解答 解：（1）當a=1時，點A坐標為（0，-1），
由-$\frac{1}{2}$x²=-1得x=$±\sqrt{2}$，即AM=$\sqrt{2}$，
由-$\frac{1}{4}{x}^{2}$=-1得x=±2，即AN=2，則$\frac{AM}{AN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
當a=2時，點A坐標為（0，-4），
由-$\frac{1}{2}$x²=-4得x=$±2\sqrt{2}$，即AM=2$\sqrt{2}$，
由-$\frac{1}{4}{x}^{2}$=-4得x=±4，即AN=4，則$\frac{AM}{AN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
當a=3時，點A的坐標為（0，-9），
由-$\frac{1}{2}$x²=-9得x=$±3\sqrt{2}$，即AM=3$\sqrt{2}$，
由-$\frac{1}{4}{x}^{2}$=-9得x=±6，即AN=6，則$\frac{AM}{AN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
對于任意正數a，都有$\frac{AM}{AN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
證明：當y=-a²時，由-$\frac{1}{2}$x²=-a²（x＞0），解得x=$\sqrt{2}$a，
由-$\frac{1}{4}$x²=-a²（x＞0），解得x=2a，
∴AM=$\sqrt{2}$a，AN=2a，
∴$\frac{AM}{AN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）顯然∠OAM=∠OAN=90°．
①當△OAM為等腰三角形時，AM=OA=-a²，
∴-$\frac{1}{2}$a⁴=-a²（a＞0），解得a=$\sqrt{2}$，此時x=2，
∴S_△OAM=2．
當a=$\sqrt{2}$時，-$\frac{1}{4}$x²=-2，解得x=2$\sqrt{2}$，
∴S_△OAN=2$\sqrt{2}$，
∴S_△OAN-S_△OAM=2$\sqrt{2}$-2．
②當△OAN為等腰三角形時，AN=OA，
∴-$\frac{1}{4}$a⁴=-a²（a＞0），解得a=2，此時x=4，
∴S_△OAN=8．
當a=2時，-$\frac{1}{2}$x²=-4，解得x=2$\sqrt{2}$，
∴S_△AOM=4$\sqrt{2}$，
∴S_△OAN-S_△OAM=8-4$\sqrt{2}$．
（3）由-$\frac{1}{2}$x²=-a²（x＞0），解得x=$\sqrt{2}$a．
當x=$\sqrt{2}$a時，y=-$\frac{1}{4}$x²=-$\frac{1}{2}$a²，
∴EM=$\frac{1}{2}$a²，
∴S_△BEM=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a³．
由-$\frac{1}{4}$x²=-a²（x＞0），解得x=2a．
當x=2a時，y=-$\frac{1}{2}$x²=2a²，
∴NF=a²，
S_△B′NF=a³，
∴$\frac{{S}_{△BEM}}{{S}_{△B'FN}}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^{3}}{{a}^{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$
∴S_△BEM與S_△B′FN的比值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：（1）$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查二次函數的綜合應用能力及三角形的面積，根據點A的坐標結合函數表達式表示出計算所需線段的長度是解題的關鍵．