Question

如圖是一個(gè)銳角為∠B=30°的直角三角形，∠C是直角．
（1）用直尺和圓規(guī)在此三角形中作出一個(gè)半圓，使它的圓心在線段BC上，且與AB，AC和相切（保留作圖痕跡，不必寫出作法）；
（2）求（1）中所作半圓與三角形的面積比（保留一個(gè)有效數(shù)字）．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—復(fù)雜作圖

專題：作圖題

分析：（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理，以A為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB相交于D，過點(diǎn)D作AB的垂線與BC相交于點(diǎn)O，然后以O(shè)為圓心，以O(shè)D長(zhǎng)為半徑，作出半圓即可；
（2）設(shè)AC=x，解直角三角形求出BC，設(shè)半圓的半徑為r，求出△ABC和△OBD相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求x、r的關(guān)系，再根據(jù)三角形與圓的面積公式列式求解即可．

解答：解：（1）所作半圓如圖所示；

（2）設(shè)AC=x，
∵∠B=30°，∠C是直角，
∴AB=2AC=2x，
根據(jù)勾股定理，BC=

AB2-AC2

=

(2x)2-x2

=

3

x，
設(shè)半圓的半徑為r，則OB=

3

x-r，
∵∠B=∠B，∠C=∠BDO=90°，
∴△ABC∽△OBD，
∴

OD

AC

=

BO

AB

，
即

r

x

=

3 x-r

2x

，
整理得，r=

3

3

x，
所以，半圓的面積：三角形的面積=

1

2

πr²：

1

2

x•

3

x=π（

3

3

x）²：

3

x²=（

3

π）：9≈0.6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)雜作圖，主要利用了切線長(zhǎng)定理，過一點(diǎn)作已知直線的垂線，相似三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)較大．