Question

15．如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊BC的延長線上，且OE=OB，OE交CD于點(diǎn)H，連接DE．
（1）求證：DE⊥BE；
（2）如果OE⊥CD，CE=3，DE=4，求BD的長度．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得到BO=$\frac{1}{2}$BD，由等量代換推出OE=$\frac{1}{2}$BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，得出對應(yīng)邊成比例，由勾股定理求出CD，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BO=OD，
∵OE=OB，
∴OE=OD，
∴∠OBE=∠OEB，∠OED=∠ODE，
∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°，
∴∠BEO+∠DEO=∠BED=90°，
∴DE⊥BE；
（2）解：∵OE⊥CD，
∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°
∴∠CEO=∠CDE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠CEO
∴∠DBE=∠CDE，
∵∠BED=∠BED，
∴△BDE∽△DCE，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{DE}{CE}$，
∴BD•CE=CD•DE，
∵DE⊥BE，
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴3BD=5×4，
∴BD=$\frac{20}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題（2）的關(guān)鍵．