Question

如圖，已知拋物線l₁：y=x²-4的圖象與x軸相交于A、C兩點(diǎn)，B是拋物線l₁上的動(dòng)點(diǎn)（B不與A、C重合），拋物線l₂與l₁關(guān)于x軸對(duì)稱，以AC為對(duì)角線的平行四邊形ABCD的第四個(gè)頂點(diǎn)為D．
（1）求l₂的解析式；
（2）求證：點(diǎn)D一定在l₂上；
（3）?ABCD能否為矩形？如果能為矩形，求這些矩形公共部分的面積（若只有一個(gè)矩形符合條件，則求此矩形的面積）；如果不能為矩形，請(qǐng)說(shuō)明理由．
注：計(jì)算結(jié)果不取近似值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)l₁的解析式可求l₁與x軸的交點(diǎn)為A（-2，0），C（2，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-4），l₂與l₁關(guān)于x軸對(duì)稱，實(shí)際上是l₂與l₁的頂點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，即l₂的頂點(diǎn)為（0，4），設(shè)頂點(diǎn)式，可求拋物線l₂的解析式；
（2）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，A、C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則B、D也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)B（m，n），則點(diǎn)D（-m，-n），由于B（m，n）點(diǎn)是y=x²-4上任意一點(diǎn)，則n=m²-4，∴-n=-（m²-4）=-m²+4=-（-m）²+4，可知點(diǎn)D（-m，-n）在l₂y=-x²+4的圖象上；
（3）構(gòu)造∠ABC=90°是關(guān)鍵，連接OB，只要證明OB=OC即可，為求OB長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，用B的坐標(biāo)為（x₀，x₀²-4），可求OB，用OB=OC求x₀，再計(jì)算面積．

解答：解：（1）設(shè)l₂的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∵l₁與x軸的交點(diǎn)為A（-2，0），C（2，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-4），l₂與l₁關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴l(xiāng)₂過(guò)A（-2，0），C（2，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，4），（1分）
∴

4a-2b+c=0 4a+2b+c=0 c=4

（2分）
∴a=-1，b=0，c=4，
即l₂的解析式為y=-x²+4．（3分）
（還可利用頂點(diǎn)式、對(duì)稱性關(guān)系等方法解答）

（2）設(shè)點(diǎn)B（m，n）為l₁：y=x²-4上任意一點(diǎn)，則n=m²-4，（*）
∵四邊形ABCD′是平行四邊形，點(diǎn)A、C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，
∴B、D′關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，（4分）
∴點(diǎn)D′的坐標(biāo)為D′（-m，-n）．
由式方程式可知，-n=-（m²-4）=-（-m）²+4，
即點(diǎn)D′的坐標(biāo)滿足y=-x²+4，又D與D′關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)D在l₂上．（5分）

（3）?ABCD能為矩形．（6分）
過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，由點(diǎn)B在l₁：y=x²-4上，可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x₀，x₀²-4），
則OH=|x₀|，BH=|x₀²-4|．
易知，當(dāng)且僅當(dāng)BO=AO=2時(shí)，?ABCD為矩形．
在Rt△OBH中，由勾股定理得，|x₀|²+|x₀²-4|²=2²，
（x₀²-4）（x₀²-3）=0，
∴x₀=±2（舍去）、x₀=±

3

．（7分）
所以，當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為B（

3

，-1）或B′（-

3

，-1）時(shí)，?ABCD為矩形，
此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)分別是D（-

3

，1）、D′（

3

，1）．
因此，符合條件的矩形有且只有2個(gè)，即矩形ABCD和矩形AB′CD′．（8分）
設(shè)直線AB與y軸交于E，顯然，△AOE∽△AHB，
∴

EO

AO

=

BH

AH

，
∴

EO

2

=

1

2+ 3

．
∴EO=4-2

3

．（9分）
由該圖形的對(duì)稱性知矩形ABCD與矩形AB′CD′重合部分是菱形，其面積為
S=2S_△ACE=2×

1

2

×AC×EO=2×

1

2

×4×（4-2

3

）=16-8

3

．（10分）
（還可求出直線AB與y軸交點(diǎn)E的坐標(biāo)解答）

點(diǎn)評(píng)：本題是一道函數(shù)型綜合題，涉及二次函數(shù)、相似形、四邊形等知識(shí)，三個(gè)小題的坡度設(shè)計(jì)很恰當(dāng)，能較好地體現(xiàn)出試題的區(qū)分度，對(duì)第2題的證明過(guò)程要仔細(xì)領(lǐng)悟．