Question

已知三角形的三邊依次為n²-1，2n，n²+1，當(dāng)n取2至10這9個自然數(shù)時，得到9個不同的三角形，其中具有最小內(nèi)角的三角形的三邊長依次為______．

Answer 1

∵三角形的三邊依次為n²-1，2n，n²+1，
又∵（n²-1）²=n⁴-2n²+1，（2n）²=4n²，（n²+1）²=n⁴+2n²+1，
∴（n²-1）²+（2n）²=（n²+1）²，
∴此三角形是直角三角形，
當(dāng)n=2，則n²-1=3，2n=4，n²+1=5，
則最小角的正弦為：

3

5

；
當(dāng)n=3，則n²-1=8，2n=6，n²+1=10，
則最小角的正弦為：

6

10

=

3

5

；
當(dāng)n=4，則n²-1=15，2n=8，n²+1=17，
則最小角的正弦為：

8

17

；
當(dāng)n=5，則n²-1=24，2n=10，n²+1=25，
則最小角的正弦為：

10

25

=

2

5

；
當(dāng)n=6，則n²-1=35，2n=12，n²+1=37，
則最小角的正弦為：

12

37

；
當(dāng)n=7，則n²-1=48，2n=14，n²+1=50，
最小角的正弦為：

14

50

=

7

25

；
則當(dāng)n=8，則n²-1=63，2n=16，n²+1=65，
則最小角的正弦為：

16

65

；
當(dāng)n=9，則n²-1=80，2n=18，n²+1=82，
則最小角的正弦為：

18

82

=

9

41

；
∵

9

41

最小，即其對應(yīng)的角最小，
當(dāng)n=10，則n²-1=99，2n=20，n²+1=101，
則最小角的正弦為：

20

101

，
∵

20

101

最小，即其對應(yīng)的角最小，
∴當(dāng)n²-1=99，2n=20，n²+1=101，
有最小內(nèi)角，其三角形的三邊長依次為99，20，101．
故答案為：99，20，101