Question

已知三角形的三邊依次為n²-1，2n，n²+1，當(dāng)n取2至10這9個自然數(shù)時，得到9個不同的三角形，其中具有最小內(nèi)角的三角形的三邊長依次為________．

Answer 1

99，20，101
分析：首先由三角形的三邊依次為n²-1，2n，n²+1，根據(jù)勾股定理的逆定理可得：此三角形是直角三角形，然后分別求得n取2至10這9個自然數(shù)時，9個不同的三角形的最小角的正弦值，根據(jù)正弦函數(shù)的增減性問題，可得當(dāng)n=10時是具有最小內(nèi)角的三角形，繼而求得其三邊長．
解答：∵三角形的三邊依次為n²-1，2n，n²+1，
又∵（n²-1）²=n⁴-2n²+1，（2n）²=4n²，（n²+1）²=n⁴+2n²+1，
∴（n²-1）²+（2n）²=（n²+1）²，
∴此三角形是直角三角形，
當(dāng)n=2，則n²-1=3，2n=4，n²+1=5，
則最小角的正弦為：；
當(dāng)n=3，則n²-1=8，2n=6，n²+1=10，
則最小角的正弦為：=；
當(dāng)n=4，則n²-1=15，2n=8，n²+1=17，
則最小角的正弦為：；
當(dāng)n=5，則n²-1=24，2n=10，n²+1=25，
則最小角的正弦為：=；
當(dāng)n=6，則n²-1=35，2n=12，n²+1=37，
則最小角的正弦為：；
當(dāng)n=7，則n²-1=48，2n=14，n²+1=50，
最小角的正弦為：=；
則當(dāng)n=8，則n²-1=63，2n=16，n²+1=65，
則最小角的正弦為：；
當(dāng)n=9，則n²-1=80，2n=18，n²+1=82，
則最小角的正弦為：=；
∵最小，即其對應(yīng)的角最小，
當(dāng)n=10，則n²-1=99，2n=20，n²+1=101，
則最小角的正弦為：，
∵最小，即其對應(yīng)的角最小，
∴當(dāng)n²-1=99，2n=20，n²+1=101，
有最小內(nèi)角，其三角形的三邊長依次為99，20，101．
故答案為：99，20，101
點評：此題考查了三角形的邊角關(guān)系，勾股定理的逆定理以及正弦函數(shù)的應(yīng)用．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理求得此三角形是直角三角形，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解，注意分類討論思想的應(yīng)用．