Question

【題目】已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG．

（1）求證：EG=CG且EG⊥CG；

（2）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，如圖②所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG．問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

（3）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？

Answer 1

【答案】解：（1）CG=EG

（2）（1）中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即EG=CG．

證明：連接AG，過G點(diǎn)作MN⊥AD于M，與EF的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn)．

在△DAG與△DCG中，

∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴ △DAG≌△DCG．

∴ AG=CG．

在△DMG與△FNG中，

∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

∴ △DMG≌△FNG．

∴ MG=NG

在矩形AENM中，AM=EN．

在Rt△AMG 與Rt△ENG中，

∵ AM=EN， MG=NG，

∴ △AMG≌△ENG．

∴ AG=EG

∴ EG=CG．

（3）（1）中的結(jié)論仍然成立．

【解析】

試題（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG．

（2）結(jié)論仍然成立，連接AG，過G點(diǎn)作MN⊥AD于M，與EF的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn)；再證明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再證出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再證明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后證出CG=EG．

（3）結(jié)論依然成立．還知道EG⊥CG;

試題解析：

解：（1）證明：在Rt△FCD中，

∵G為DF的中點(diǎn)，

∴ ，

同理，在Rt△DEF中， ，

∴CG=EG；

（2）（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG；

連接AG，過G點(diǎn)作MN⊥AD于M，與EF的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn)，如圖所示：

在△DAG與△DCG中，

∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DC=DC，

∴△DAG≌△DCG，

∴AG=CG，

在△DMG與△FNG中，

∵∠DGM=∠FGN，DG=FG，∠MDG=∠NFG，

∴△DMG≌△FNG，

∴MG=NG，

在矩形AENM中，AM=EN.，

在Rt△AMG與Rt△ENG中，

∵AM=EN，MG=NG，

∴△AMG≌△ENG，

∴AG=EG，

∴EG=CG，

（3）（1）中的結(jié)論仍然成立，即EG=CG且EG⊥CG。

過F作CD的平行線并延長(zhǎng)CG交于M點(diǎn)，連接EM、EC，過F作FN垂直于AB于N，如圖所示：

由于G為FD中點(diǎn)，易證△CDG≌△MFG，得到CD=FM，

又因?yàn)?/span>BE=EF，易證∠EFM=∠EBC，則△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC

∵∠FEC+∠BEC=90°，

∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，

∴△MEC是等腰直角三角形，

∵G為CM中點(diǎn)，

∴EG=CG，EG⊥CG。