Question

【題目】如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，F(xiàn)是CD的中點，過點C作AB的平行線交BF的延長線于點E，連接AE.

（1）求證：EC=DA;
（2）若AC⊥CB，試判斷四邊形AECD的形狀，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵EC∥AB，

∴∠FEC=∠DBF，∠ECF=∠BDF，

∵F是CD的中點，

∴FD=CF，

在△FEC與△DBF中，

∴△FEC≌△DBF，

∴EC=BD，

又∵CD是AB邊上的中線，

∴BD=AD，

∴EC=AD．

（2）

解：

四邊形AECD是菱形．

證明：∵EC=AD，EC∥AD，

∴四邊形AECD是平行四邊形，

∵AC⊥CB，CD是AB邊上的中線，

∴CD=AD=BD，

∴四邊形AECD是菱形．

【解析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠FEC=∠DBF，∠ECF=∠BDF，F(xiàn)是CD的中點，得出FD=CF，再利用AAS證明△FEC與△DBF全等，進(jìn)一步證明即可；
（2）利用直角三角形的性質(zhì)：斜邊上的中線等于斜邊的，得出CD=DA，進(jìn)一步得出結(jié)論即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解菱形的判定方法的相關(guān)知識，掌握任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．