Question

7．如圖，已知直線y=ax與雙曲線$y=\frac{k}{x}（k＞0）$交于A、B兩點，點B的坐標為B（-2，-1），C為雙曲線$y=\frac{k}{x}（k＞0）$上一點，且在第一象限內(nèi)．
（1）k=2；
（2）若三角形AOC的面積為$\frac{3}{2}$，則點C的坐標為（1，2）或（4，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）把B點坐標代入$y=\frac{k}{x}（k＞0）$中，可求得k的值；
（2）把B點坐標代入y=ax，可求得a的值，聯(lián)立直線和雙曲線解析式可求得A點坐標，分別過點A、C作x軸的垂線，交x軸于點E、D，設出C點坐標，可表示出△AOC的面積，可得到方程，求解即可．

解答 解：
（1）∵B（-2，-1）在雙曲線上，
∴k=-2×（-1）=2，
故答案為：2；  
（2）由（1）可知雙曲線解析式為y=$\frac{2}{x}$，
把B點坐標代入直線y=ax可得-2a=-1，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴直線解析式為y=$\frac{1}{2}$x，
聯(lián)立直線和雙曲線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴A點坐標為（2，1），
∵C點為雙曲線上一點，且在第一象限內(nèi)，
∴可設C點坐標為（x，$\frac{2}{x}$），其中x＞0，
如圖，分別過點A、C作x軸的垂線，交x軸于點E、D，

則CD=$\frac{2}{x}$，OD=x，OE=2，AE=1，
∴DE=|2-x|，
∴S_△AOE=$\frac{1}{2}$OE•AE=$\frac{1}{2}$×2×1=1，S_△COD=$\frac{1}{2}$OD•CD=$\frac{1}{2}$x•$\frac{2}{x}$=1，S_梯形ACDE=$\frac{1}{2}$（AE+CD）DE=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{2}{x}$）|2-x|，
∴S_{四邊形ACOE}=S_△OCD+S_梯形ACDE=1+$\frac{1}{2}$（1+$\frac{2}{x}$）|2-x|，
∴S_△AOC=S_{四邊形ACOE}-S_△AOE，
即$\frac{3}{2}$=1+$\frac{1}{2}$（1+$\frac{2}{x}$）|2-x|-1，
解得x=1或x=4，
∴C點坐標為（1，2）或（4，$\frac{1}{2}$），
故答案為：（1，2）或（4，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)圖象的交點，掌握兩函數(shù)圖象的交點坐標滿足每個函數(shù)解析式是解題的關鍵．