Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，AB=AC=BC=10厘米，DC=4厘米．如果點(diǎn)M以3厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)．

（1）如果點(diǎn)M在線段CB上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在線段BA上由B點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．它們同時(shí)出發(fā)，若點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度相等．

①經(jīng)過2秒后，△BMN和△CDM是否全等？請(qǐng)說明理由．

②當(dāng)兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少時(shí)，△BMN是一個(gè)直角三角形？

（2）若點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度不相等，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)M以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，都順時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過25秒點(diǎn)M與點(diǎn)N第一次相遇，則點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度是　 　厘米/秒．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）①△BMN≌△CDM．理由見解析；②當(dāng)t=秒或t=秒時(shí)，△BMN是直角三角形；（2）3.8或2.6．

【解析】試題分析：①根據(jù)題意得CM=BN=6CM，所以BM=4CM=CD．根據(jù)“SAS”證明△BMN≌△CDM；

②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，分別表示CM和BN．分兩種情況，運(yùn)用特殊三角形的性質(zhì)求解：I．∠NMB=90°；Ⅱ．∠BNM=90°；

（2）點(diǎn)M與點(diǎn)N第一次相遇，有兩種可能：I．點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)速度快；Ⅱ．點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)速度快．分別列方程求解．

試題解析：（1）①△BMN≌△CDM．理由如下：

∵VN=VM=3厘米/秒，且t=2秒，

∴CM=2×3=6（cm），

BN=2×3=6（cm），

BM=BC﹣CM=10﹣6=4（cm），

∴BN=CM，

∵CD=4（cm），

∴BM=CD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

在△BMN和△CDM中，

BN=CM，∠B=∠C，BM=CD，

∴△BMN≌△CDM．（SAS）.

②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△BMN是直角三角形有兩種情況：

Ⅰ．當(dāng)∠NMB=90°時(shí)，

∵∠B=60°，

∴∠BNM=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°．

∴BN=2BM，

∴3t=2×（10﹣3t），

∴t=（秒）；

Ⅱ．當(dāng)∠BNM=90°時(shí)，

∵∠B=60°，

∴∠BMN=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°．

∴BM=2BN，

∴10﹣3t=2×3t，

∴t=（秒）．

∴當(dāng)t=秒或t=秒時(shí)，△BMN是直角三角形；

（2）分兩種情況討論：

I．若點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)速度快，則 3×25﹣10=25VN，解得 VN=2.6；

Ⅱ．若點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)速度快，則 25VN﹣20=3×25，解得 VN=3.8．

故答案為 3.8或2.6．