Question

【題目】已知二次函數(shù) 的圖象如圖．

（1）求它的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）將該拋物線沿它的對(duì)稱(chēng)軸向上平移，設(shè)平移后的拋物線與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A、B、C三點(diǎn)，若∠ACB=90°，求此時(shí)拋物線的解析式；
（3）設(shè)（2）中平移后的拋物線的頂點(diǎn)為M，以AB為直徑，D為圓心作⊙D，試判斷直線CM與⊙D的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由 ，

得x=﹣ =﹣ =3，

∴D（3，0）；

（2）

解：方法一：

如圖1，

設(shè)平移后的拋物線的解析式為 ，

則C（0，k）OC=k，

令y=0即 ，

得 ， ，

∴A ，B ，

∴ ，

=2k2+8k+36，

∵AC2+BC2=AB2

即：2k2+8k+36=16k+36，

得k1=4，k2=0（舍去），

∴拋物線的解析式為 ，

方法二：

∵ ，∴頂點(diǎn)坐標(biāo) ，

設(shè)拋物線向上平移h個(gè)單位，則得到C（0，h），頂點(diǎn)坐標(biāo) ，

∴平移后的拋物線： ，

當(dāng)y=0時(shí)， ，得 ， ，

∴A ，B ，

∵∠ACB=90°，

∴△AOC∽△COB，則OC2=OAOB，

即 ，

解得h1=4，h2=0（不合題意舍去），

∴平移后的拋物線： ；

（3）

解：方法一：

如圖2，

由拋物線的解析式 可得，

A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），M ，

過(guò)C、M作直線，連接CD，過(guò)M作MH垂直y軸于H，則MH=3，

∴ ，

，

在Rt△COD中，CD= =AD，

∴點(diǎn)C在⊙D上，

∵

，

∴DM2=CM2+CD2

∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM，

∴直線CM與⊙D相切．

方法二：

如圖3，

由拋物線的解析式可得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），M ，

作直線CM，過(guò)D作DE⊥CM于E，過(guò)M作MH垂直y軸于H，則MH=3， ，由勾股定理得 ，

∵DM∥OC，

∴∠MCH=∠EMD，

∴Rt△CMH∽R(shí)t△DME，

∴ 得DE=5，

由（2）知AB=10，∴⊙D的半徑為5．

∴直線CM與⊙D相切．

【解析】（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸公式求出x=﹣ ，求出即可；（2）假設(shè)出平移后的解析式即可得出圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用勾股定理求出即可；（3）由拋物線的解析式 可得，A，B，C，M各點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用勾股定理逆定理求出CD⊥CM，即可證明．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小．