Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)y=kx（k≠0）沿著y軸向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，與x軸交于點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)B、C且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．

（1）求直線(xiàn)BC及該拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）設(shè)該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，求△DBC的面積；

（3）如果點(diǎn)F在y軸上，且∠CDF=45°，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)的解析式為y=x2﹣4x+3；（2）S△DBC=3；（3）F（0，﹣）．

【解析】試題分析：

（1）由題意可設(shè)平移后的直線(xiàn)的解析式為y=kx+3，代入點(diǎn)B的坐標(biāo)可求得k的值，從而可得直線(xiàn)BC的解析式y=-x+3，由此可解得點(diǎn)C的坐標(biāo)，將B、C的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式列方程組可求得b、c的值，即可得到拋物線(xiàn)的解析式；

（2）如圖1所示：過(guò)點(diǎn)C作CE∥x軸，過(guò)點(diǎn)B作EF∥y軸，過(guò)點(diǎn)D作DF∥x軸，由（1）中所得拋物線(xiàn)的解析式求出其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)即可由S△DBC=S四邊形CEFG﹣S△CDG﹣S△BFD﹣S△BCE求出其面積了；

（3）如圖2所示：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD，垂足為G．由（1）（2）易得CD=，tan∠OCD=tan∠GCF=，則CG=2FG，由∠GCF=45°，∠FGD=90°可得△FGD為等腰直角三角形，由此可得FG=GD，由此可得CD=3FG，則FG=，CG=，從而在Rt△CFG中，可得CF=，則OF=CF﹣OC=，就可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，﹣）．

試題解析：

（1）將直線(xiàn)y=kx（k≠0）沿著y軸向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得直線(xiàn)的解析式為y=kx+3，

將點(diǎn)B（3，0）代入得：3k+3=0，解得k=﹣1，

∴直線(xiàn)BC的解析式為y=﹣x+3．

令x=0得：y=3，

∴C（0，3）．

將B（3，0），C（0，3）代入拋物線(xiàn)的解析式得： ，解得：b=﹣4，c=3，

∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x2﹣4x+3．

（2）如圖1所示：過(guò)點(diǎn)C作CE∥x軸，過(guò)點(diǎn)B作EF∥y軸，過(guò)點(diǎn)D作DF∥x軸．

y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．

∴D（2，﹣1）．

∴S△DBC=S四邊形CEFG﹣S△CDG﹣S△BFD﹣S△BCE=12﹣×2×4﹣×1×1﹣×3×3=3．

（3）如圖2所示：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD，垂足為G，由（1）（2）易得CD=，

∵C（0，3），D（2，﹣1），

∴CD=，

∵tan∠OCD=tan∠GCF=，

∴CG=2FG．

又∵∠GCF=45°，∠FGD=90°，

∴△FGD為等腰直角三角形，

∴FG=GD．

∴CD=3FG，

∴FG=．

∴CG=2FG=．

∴在Rt△CFG中，依據(jù)勾股定理可知：CF=．

∴OF=CF﹣OC=．

∴F（0，﹣）．