Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（，0），B（3，2），C（0，2）．動點D以每秒1個單位的速度從點0出發(fā)沿OC向終點C運動，同時動點E以每秒2個單位的速度從點A出發(fā)沿AB向終點B運動．過點E作EF上AB，交BC于點F，連接DA，DF．設(shè)運動時間為t秒．
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）當t為何值時，AB∥DF；
（3）設(shè)四邊形AEFD的面積為S．
①求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；②若一拋物線y=x²+mx經(jīng)過動點E，當S＜2時，求m的取值范圍（寫出答案即可）．

Answer 1

解：（1）過點B作BM⊥x軸于點M，
∵C（0，2），B（3，2），
∴BC∥OA，
∵BM=2，AM=2，
∴tan∠BAM=，
∴∠ABC=∠BAM=30°．

（2）∵AB∥DF，
∴∠CFD=∠CBA=30°，
在Rt△DCF中，CD=2-t，∠CFD=30°，
∴CF=（2-t），
∵AB=4，
∴BE=4-2t，∠FBE=30°，
∴BF=，
∴（2-t）+=3，
∴t=．

（3）①過點EG⊥x軸于點G，
∵∠EAG=30°，AE=2t，
∴EG=AE=t，OG=+t
∴E（+t，t）
∴DE∥x軸
S=S_△DEF+S_△DEA=DE×CD+DE×OD=DE×OC
=×（t+）×2=t+．
②當S＜2時，t+＜2
∴t＜1，
∵t＞0，
∵0＜t＜1，
∴＜m＜．
分析：（1）過點B作BM⊥x軸于點M，在Rt△ABM中求tan∠BAM，得出∠BAM的度數(shù)，利用BC∥OA求解；
（2）當AB∥DF時，∠CFD=∠CBA=30°，在Rt△CDF，Rt△BEF中，解直角三角形求CF，BF，根據(jù)CF+BF=BC，列方程求解；
（3）①由D、E兩點坐標可知DE∥x軸，根據(jù)S=S_△DEF+S_△DEA，利用三角形面積公式列函數(shù)式；
②將①中的關(guān)系式代入S＜中求t的取值范圍，將E（+t，t）代入拋物線y=x²+mx中，求m、t的關(guān)系式，代入t的取值范圍求m的取值范圍．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是解直角三角形的知識，平行線的性質(zhì)求相關(guān)點的坐標，根據(jù)面積公式列等量關(guān)系求解．