Question

如圖1，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB邊中點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作∠PDQ=90°，DP、DQ分別交直線AC、BC于E、F，分別過E、F作AB的垂線，垂足分別為M、N．
（1）求證：EM+FN=

2

2

AC；
（2）把∠PDQ繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC的延長線上時(shí)（如圖2），則線段EM、FN、AC之間滿足的關(guān)系式是

 

；
（3）在∠PDQ繞點(diǎn)D由圖1到圖2的旋轉(zhuǎn)的過程中，設(shè)DP交直線BC于點(diǎn)G，連接BE，若FG=10，AE=3CE，求BE的長．

Answer 1

分析：（1）連接CD，由D為等腰直角三角形斜邊AB的中點(diǎn)，根據(jù)三線合一得到CD垂直于AB，CD為角平分線，從而得到∠ECD=∠B=45°，根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=DB，再由∠EDC與∠CDF互余，且∠CDF與∠FDB互余，根據(jù)同角的余角相等得到∠EDC=∠FDB，根據(jù)ASA可得三角形CED與三角形FBD全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得ED=FD，再根據(jù)同角的余角相等得到一對(duì)角相等，一對(duì)直角相等，且DE=DF，根據(jù)AAS得到三角形EDM與三角形FND全等，可得MD=FN，又三角形AEM為等腰直角三角形，故EM=AM，所以EM+FN等量代換為AD，而在等腰直角三角形ACD中，根據(jù)45°的余弦函數(shù)定義可得AD=

2

2

AC，從而得證；
（2）連接CD，同理可得EM-FN=

2

2

AC；
（3）過D作DH垂直于AC，又BC垂直于AC，得到DH與BC平行，根據(jù)D為AB中點(diǎn)，得到H也為AC中點(diǎn)，得到DH為三角形ABC的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)得到DH等于BC的一半，即為AC的一半，又AE=3EC，得到AC=2EC，從而得到BC=2EC，可得HD=EC，設(shè)CE=x，則AE=3x，AC=AE-CE=2x，可得AH=HC=CE=x，且AC=BC=EH=2EC=2x，由∠HAD=45°，∠AHD=90°，得到△AHD為等腰直角三角形，同理△AEM和△FND都為等腰直角三角形，可表示出AM=EM=

2

2

AE=

3 2

2

x，進(jìn)而得到HD=AH=x，由EC=CH=x，
得到C為HE的中點(diǎn)，即CG為中位線，根據(jù)三角形中位線定理得到CG=

1

2

HD=

1

2

x，用GB=BC-CG，表示出GB，由第二問得到EM-FN=

2

2

AC，將表示出的EM及AC代入表示出FN，即為DN，利用勾股定理表示出BF，由GF=GB+BF，將GF=10代入，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，進(jìn)而確定出EM及BM的長，在直角三角形BEM中，由EM及BM的長，利用勾股定理即可求出EB的值．

解答：（1）證明：連接CD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB邊中點(diǎn)，
∴∠ACD=∠DCB=

1

2

∠ACB=45°，CD⊥AB，
又∠A=∠B=45°，
∴∠ECD=∠FBD，
又D為Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，
∴CD=BD=

1

2

AB，
∵∠PDQ=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
又CD⊥AB，∴∠CDF+∠FDB=90°，
∴∠EDC=∠FDB，
在△CED和△FBD中，

∠EDC=∠FBD CD=BD ∠EDC=∠FDB

，
∴△CED≌△FBD（ASA），
∴ED=FD，
又∵∠MED+∠EDM=90°，∠EDM+∠FDN=90°，
∴∠MED=∠NDF，
在△EDM和△DFN中，

∠MED=∠NDF ∠EMD=∠DNF=90° ED=FD

，
∴△EDM≌△DFN（AAS），
∴MD=FN，
又∠A=45°，∠EMA=90°，
∴∠AEM=∠A=45°，
∴AM=EM，
∴EM+FN=AM+MD=AD，
在Rt△ACD中，cosA=cos45°=

AD

AC

=

2

2

，即AD=

2

2

AC，
∴EM+FN=

2

2

AC；

（2）連接CD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB邊中點(diǎn)，
∴∠ACD=∠DCB=45°，CD⊥AB，
又∠A=∠ABC=45°，
∴∠ECD=∠FBD=135°，
又D為Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，
∴CD=BD=

1

2

AB，
∵∠PDQ=90°，
∴∠FDB+∠EDN=90°，
又CD⊥AB，∴∠EDC+∠EDN=90°，
∴∠EDC=∠FDB，
在△CED和△FBD中，

∠ECD=∠FBD CD=BD ∠EDC=∠FDB

，
∴△CED≌△FBD（ASA），
∴ED=FD，
又∵∠MED+∠EDM=90°，∠EDM+∠FDN=90°，
∴∠MED=∠NDF，
在△EDM和△DFN中，

∠MED=∠NDF ∠EMD=∠DNF=90° ED=FD

，
∴△EDM≌△DFN（AAS），
∴MD=FN，
又∠A=45°，∠EMA=90°，
∴∠AEM=∠EAM=45°，
∴AM=EM，
∴EM-FN=AM-MD=AD，
在Rt△ACD中，cosA=cos45°=

AD

AC

=

2

2

，即AD=

2

2

AC，
∴EM-FN=

2

2

AC；

（3）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
連接BE，過D作DH⊥AC，又BC⊥AC，且D為AB的中點(diǎn)，
∴H為AC的中點(diǎn)，即DH為△ABC的中位線，
∴DH∥BC，且DH=

1

2

BC=

1

2

AC，
由AE=3EC，設(shè)EC=x，則AE=3x，AC=AE-CE=2x，
∴AH=HC=CE=x，且AC=BC=EH=2EC=2x，
又∠HAD=45°，∠AHD=90°，
∴△AHD為等腰直角三角形，
同理△AEM和△FNB都為等腰直角三角形，
∴AM=EM=

2

2

AE=

3 2

2

x，
∴HD=AH=x，
∵EC=CH=x，
∴C為HE的中點(diǎn)，又CG∥HD，
∴G為ED的中點(diǎn)，即CG為三角形EHD的中位線，
∴CG=

1

2

HD=

1

2

x，
∴GB=BC-CG=2x-

1

2

x=

3

2

x，
由第二問得到EM-FN=

2

2

AC，
∴

3 2

2

x-FN=

2

x，即FN=DN=

2

2

x，
∴BF=x，又GF=10，
∴GF=GB+BF=

3

2

x+x=10，解得：x=4，
∴EM=

3 2

2

x=6

2

，BM=AB-AM=2

2

x-

3 2

2

x=2

2

，
在直角三角形BEM中，根據(jù)勾股定理得：EB=

EM2+BM2

=4

5

．
故答案為：EM-FN=

2

2

AC

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，三角形的中位線定理，要求學(xué)生借助圖形，多次利用轉(zhuǎn)化的思想，尋找全等所需的條件，由三角形的全等來解決問題，第二問是探究結(jié)論型題，需要充分抓住已知條件或圖形的特征，找準(zhǔn)問題的突破口，由淺入深，多角度，多側(cè)面探尋聯(lián)系符合題設(shè)的有關(guān)知識(shí)，合理組合，發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，本題應(yīng)參照第一問的證明方法來探究第二問的結(jié)論，第三問作出輔助線DH，構(gòu)造三個(gè)全等三角形是解題的關(guān)鍵．