【題目】如下圖1,在四邊形ABCD中,點E、F分別是AB、CD的中點.過點E作AB的垂線,過點F作CD的垂線,兩垂線交于點G,連結(jié)GA、GB、GC、GD、EF,若AGD=BGC.

1求證:AD=BC;

2求證:AGD∽△EGF;

3如圖2,若AD、BC所在直線互相垂直,求的值.

【答案】1證明見解析;2證明見解析;3.

【解析】

試題分析:本題是相似形綜合題目,考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)等知識;本題難度較大,綜合性強,特別是3中,需要通過作輔助線綜合運用1)(2的結(jié)論和三角函數(shù)才能得出結(jié)果.

2先證出AGB=DGC,由=,證出AGB∽△DGC,得出比例式=,再證出AGD=EGF,即可得出AGD∽△EGF;

3延長AD交GB于點M,交BC的延長線于點H,則AHBH,由AGD≌△BGC,得出GAD=GBC,再求出AGE=AHB=90°,得出AGE=AGB=45°,求出=,由AGD∽△EGF,即可得出的值即可.

試題解析:1GE是AB的垂直平分線,

GA=GB,

同理:GD=GC,

在△AGD和△BGC中,

,

∴△AGD≌△BGCSAS,

AD=BC;

2∵∠AGD=BGC,

∴∠AGB=DGC,

在△AGB和△DGC中,=

∴△AGB∽△DGC,

=,

∵∠AGE=DGF,

∴∠AGD=EGF,

∴△AGD∽△EGF;

3延長AD交GB于點M,交BC的延長線于點H,如圖所示,則AHBH,

∵△AGD≌△BGC,

∴∠GAD=GBC,

在△GAM和△HBM中,GAD=GBC,GMA=HMB,

∴∠AGB=AHB=90°,

∴∠AGE=AGB=45°,

=,

∵△AGD∽△EGF,

==.

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