Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等腰直角三角形，A（4，4）

（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AC為直角邊作等腰直角△ACD，∠ACD=90°連OD，求∠AOD的度數(shù)；

（3）過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交y軸于E，F(xiàn)為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，G在EF的延長(zhǎng)線上，以EG為直角邊作等腰Rt△EGH，過(guò)A作x軸垂線交EH于點(diǎn)M，連FM，等式=1是否成立？若成立，請(qǐng)證明：若不成立，說(shuō)明理由.

參考答案

Answer 1

1）作AE⊥OB于E，∵A（4，4），∴OE=4………………（1分），

∵△AOB為等腰直角三角形，且AE⊥OB，∴OE=EB=4…………（2分），

∴OB=8，∴B（8，0）………………（3分）

（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，

∵△ACD為等腰直角三角形，∴AC=DC，∠ACD=90°

即∠ACF+∠DCF=90°，∵∠FDC+∠DCF=90°，∴∠ACF=∠FDC，

又∵∠DFC=∠AEC=90°，

∴△DFC≌△CEA（5分），∴EC=DF，F(xiàn)C=AE，

∵A（4，4），∴AE=OE=4，∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，

∴OF=CE，∴OF=DF，∴∠DOF=45°……………………（6分）

∵△AOB為等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，

∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°…………（7分）

方法二：過(guò)C作CK⊥x軸交OA的延長(zhǎng)線于K，則△OCK為等腰直角三角形，OC=CK，∠K=45°，又∵△ACD為等腰Rt△，∴∠ACK=90°－∠OCA=∠DCO，AC=DC，∴△ACK≌△DCO(SAS)，∴∠DOC=∠K=45°，∴∠AOD=∠AOB+∠DOC=90°．

（3）成立……（8分），理由如下：

在AM上截取AN=OF，連EN．∵A（4，4），

∴AE=OE=4，又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，

∴△EAN≌△EOF(SAS) …………（10分）

∴∠OEF=∠AEN，EF=EN，又∵△EGH為等腰直角三角形，

∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，∴∠AEN+∠OEM=45°

又∵∠AEO=90°，∴∠NEM=45°=∠FEM，又∵EM=EM，

∴△NEM≌△FEM(SAS)………………（11分），

∴MN=MF，∴AM－MF=AM－MN=AN，∴AM－MF=OF，

即········ （12分）

   方法二：在x軸的負(fù)半軸上截取ON=AM，連EN，MN，

則△EAM≌△EON(SAS)，EN=EM，∠NEO=∠MEA，

     即∠NEF＋∠FEO=∠MEA，而∠MEA＋∠MEO=90°，

     ∴∠NEF＋∠FEO＋∠MEO=90°，而∠FEO＋∠MEO=45°，

∴∠NEF=45°=∠MEF，∴△NEF≌△MEF(SAS)，∴NF=MF，

   ∴AM=OF=OF＋NF=OF＋MF，即．

注：本題第⑶問(wèn)的原型：已知正方形AEOP，∠GEH=45°，

將∠GEH的頂點(diǎn)E與正方形的頂點(diǎn)E重合，∠GEH的兩邊分別

交PO、AP的延長(zhǎng)線于F、M，求證：AM=MF＋OF．