Question

【題目】探究：如圖1和2，四邊形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，點E、F分別在BC、CD上，∠EAF=45°．
（1）①如圖1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，則能證得
EF=BE+DF，請寫出推理過程；

②如圖2，若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足數(shù)量關(guān)系時，仍有EF=BE+DF；

（2）拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2 ，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

∵把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠DAG+∠DAF=45°，

即∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF=GF，

∵BE=DG，

∴EF=GF=BE+DF；

②解：∠B+∠D=180°，

理由是：

把△ABE繞A點旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，

則AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，

∵∠B+∠ADC=180°，

∴∠ADC+∠ADG=180°，

∴C、D、G在一條直線上，

和①知求法類似，∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF=GF，

∵BE=DG，

∴EF=GF=BE+DF；

故答案為：∠B+∠D=180°；

（2）

解：∵△ABC中，AB=AC=2 ，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC= = =4，

把△AEC繞A點旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF．

則AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，

∵∠DAE=45°，

∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，

∴∠FAD=∠DAE=45°，

在△FAD和△EAD中

∴△FAD≌△EAD，

∴DF=DE，

設(shè)DE=x，則DF=x，

∵BC=1，

∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x，

∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，

∴∠FBD=90°，

由勾股定理得：DF2=BF2+BD2，

x2=（3﹣x）2+12，

解得：x= ，

即DE= ．

【解析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF，即可求出答案；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，求出C、D、G在一條直線上，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF，即可求出答案；（2）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)好勾股定理求出∠ABC=∠C=45°，BC=4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，求出∠FAD=∠DAE=45°，證△FAD≌△EAD，根據(jù)全等得出DF=DE，設(shè)DE=x，則DF=x，BF=CE=3﹣x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可．
【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了即可以解答此題．