如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=8cm,BC=14cm,∠ABC=60°,動點(diǎn)M,N分別從點(diǎn)B,C出發(fā),沿BC,CD方向在BC,CD上運(yùn)動,點(diǎn)M,N運(yùn)動速度分別為2cm/s和1cm/s
(1)當(dāng)點(diǎn)M,N運(yùn)動了幾秒時,有MN∥BD?
(2)點(diǎn)M在邊BC上運(yùn)動時,設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動的時間為t(s),是否存在某一時刻t(s),使得△AMN的面積最�。咳舸嬖�,請求出t的值,若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)作AE⊥BC,DF⊥BC,根據(jù)AD∥BC,AD=8cm,BC=14cm,∠ABC=60°,利用三角函數(shù)求出梯形的高,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式,求出MN∥BD時所用時間;
(2)由于△AMN的面積=梯形的面積-△ADN的面積-△ABM的面積-△NMC的面積,分別用t表示出梯形的面積、△ADN的面積、△ABM的面積和△NMC的面積,便將△AMN的面積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題解答.
解答:解:(1)作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,
在等腰梯形ABCD中,
∵AD=8cm,BC=14cm,
BE=CF=(BC-AD)=(14-8)=3cm,
又∵∠ABC=∠C=60°,
∴DC=AB==3×2=6.
∵M(jìn)N∥BD,
∴△CMN∽△CND,
=,
,
解得t=


(2)作NG⊥BC于G.
∵AE=DF=6×sin60°=6×=3cm,
又∵△AMN的面積=梯形的面積-△ADN的面積-△ABM的面積-△NMC的面積,
∴S△NMC=MC•NG=(14-2t)t•sin60°=(14-2t)t=-t2+t,
S△ADN=AD•(3-t•sin60°)=×8×(3-t•sin60°)=12-2t,
S△ABM=BM•AE=×2t•3=3tcm.
S梯形ABCD=3•(8+14)=33cm2
則S△AMN=33+t2-t-12+2t-3t
=33+t2-t-12+2t-3t
=t2-t+21
當(dāng)t=-=時,二次函數(shù)取得最小值.
點(diǎn)評:本題結(jié)合動點(diǎn)問題考查了等腰梯形的性質(zhì),作出梯形的高、求出梯形的兩腰、并將三角形的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=8cm,CD=2cm,AD=6cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以2cm/s的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動;點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以1cm/s的速度沿CD、DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(P、Q兩點(diǎn)中,有一個點(diǎn)運(yùn)動到終點(diǎn)時,所有運(yùn)動即終止).設(shè)P、Q同時出發(fā)并運(yùn)動了t秒.
(1)當(dāng)PQ將梯形ABCD分成兩個直角梯形時,求t的值;
(2)試問是否存在這樣的t,使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半?若存精英家教網(wǎng)在,求出這樣的t的值;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

10、如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E為AD的中點(diǎn),求證:BE=CE.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知:如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,點(diǎn)E、F分別在AB、DC上,且BE=3EA,CF=3FD.
求證:∠BEC=∠CFB.

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(2012•廣州)如圖,在等腰梯形ABCD中,BC∥AD,AD=5,DC=4,DE∥AB交BC于點(diǎn)E,且EC=3,則梯形ABCD的周長是( �。�

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:中考必備’04全國中考試題集錦·數(shù)學(xué) 題型:044

如圖,在等腰梯形AB∥⊥CD中,BC∥AD,BC=8,AD=20,AB=DC=10,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AD邊向點(diǎn)D移動,點(diǎn)Q自A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C的路線移動,且PQ∥DC,若AP=x,梯形位于線段PQ右側(cè)部分的面積為S.

  

(1)分別求出當(dāng)點(diǎn)Q位于AB、BC上時,S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;

(2)當(dāng)線段PQ將梯形AB∥⊥CD分成面積相等的兩部分時,x的值是多少?

(3)當(dāng)(2)的條件下,設(shè)線段PQ與梯形AB∥⊥CD的中位線EF交于O點(diǎn),那么OE與OF的長度有什么關(guān)系?借助備用圖說明理由;并進(jìn)一步探究:對任何一個梯形,當(dāng)一直線l經(jīng)過梯形中位線的中點(diǎn)并滿足什么條件時,一定能平分梯形的面積?(只要求說出條件,不需要證明)

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