Question

如圖1，將一個放有一定量的水的圓柱型容器向一個放有實心小圓柱體的燒杯內注水，燒杯內及圓柱型容器內水面的高度h與注水時間t之間的函數圖象如圖2所示，已知燒杯的底面積為40cm²，實心小圓柱體底面積為10cm²，
（1）燒杯內水面的高度h₁與注水時間t之間的函數圖象為______，圓柱型容器內水面的高度h₂與注水時間t之間的函數圖象為______ （填折線OAB或線段CD）
（2）求圖中實心小圓柱體的高度和圓柱型容器的底面積．
（3）t為何值時，燒杯內及圓柱型容器內水面的高度相同？
（4）請直接寫出t為何值時，燒杯內及圓柱型容器內水的質量相同？

Answer 1

【答案】分析：（1）由于是將圓柱型容器里面的水向燒杯內注水，所以燒杯內的水面逐漸上升，即水面的高度h₁隨注水時間t的增大而增大，又因為燒杯底部放有一個實心小圓柱體，所以水面上升的高度先快后慢；圓柱型容器內的水面逐漸下降，即水面的高度h₂隨注水時間t的增大而減小，由此得出燒杯內水面的高度h₁與注水時間t之間的函數圖象為折線OAB，圓柱型容器內水面的高度h₂與注水時間t之間的函數圖象為線段CD；
（2）設圖中實心小圓柱體的高為xcm，由圖2可知，當時間t=5min時，燒杯內水面的高度為xcm；所以當時間0＜t≤5min時，燒杯內的水面每分鐘上升cm，此時燒杯內裝水的底面積為40-10=30cm²；當時間5＜t≤15min時，燒杯內的水面每分鐘上升cm，此時燒杯內裝水的底面積為40cm²；由于勻速注水，所以水面上升的高度與底面積成反比，得出：=40：30，解方程求出x的值．再設圓柱型容器的底面積為ycm²，根據圓柱型容器內減少的水的體積=燒杯內增加的水的體積，列出關于y的方程，解方程即可；
（3）先利用待定系數法分別求出AB與CD的函數解析式，再令h₁=h₂，得到關于t的方程，解方程即可；
（4）由圖2可知，15min可將圓柱型容器內的水全部注入燒杯，由于注水速度均勻，所以當t=min時，圓柱型容器內的水有一半注入燒杯，即此時燒杯內及圓柱型容器內水的質量相同．
解答：解：（1）由題意可知，燒杯內水面的高度h₁與注水時間t之間的函數圖象為折線OAB，圓柱型容器內水面的高度h₂與注水時間t之間的函數圖象為線段CD；
故答案為：折線OAB，線段CD；

（2）設圖中實心小圓柱體的高為xcm，由題意，得
：=40：30，
解得x=6．
設圓柱型容器的底面積為ycm²，由題意，得
20y=30×6+40×（15-6），
解得y=27．
故圖中實心小圓柱體的高度為6cm，圓柱型容器的底面積為27cm²；

（3）設AB的解析式為h₁=kt+b，
∵A（5，6），B（15，15）在此直線上，
∴，
解得，
∴AB的解析式為h₁=t+．
設CD的解析式為h₂=mt+n，
∵C（15，0），D（0，20）在此直線上，
∴，
解得，
∴CD的解析式為h₂=-t+20．
由h₁=h₂，得t+=-t+20，
解得t=．
故當t為時，燒杯內及圓柱型容器內水面的高度相同；

（4）當t=min時，燒杯內及圓柱型容器內水的質量相同．
點評：本題主要考查了一次函數的應用以及利用圖象獲取正確信息，識別函數圖象的能力，觀察圖象提供的信息，再分析高度、時間和容積的關系即可找到解題關鍵．利用已知圖象得出正確信息是考查重點．