Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形OABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B 的坐標(biāo)分別A（-2

3

，0）、B（-2

3

，2），∠CAO=30°．
（1）求對(duì)角線AC所在的直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）把矩形OABC以AC所在的直線為對(duì)稱軸翻折，點(diǎn)O落在平面上的點(diǎn)D處，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以A、O、D、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OA于點(diǎn)E，利用三角函數(shù)的知識(shí)，求出DE及OE的長(zhǎng)度，即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）找到點(diǎn)P的可能位置，利用平行四邊形對(duì)邊相等的性質(zhì)即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意得，OA=2

3

，∠CAO=30°，
則OC=OAtan∠CAO=2，
即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，將點(diǎn)A及點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：

-2 3 k+b=0 b=2

，
解得：

k= 3 3 b=2

，
故直線AC的函數(shù)表達(dá)式為：y=

3

3

x+2．

（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OA于點(diǎn)E，

∵∠CAO=30°，
∴∠DAE=60°，
又∵AD=AO=2

3

，
∴DE=3，AE=

3

，
∴OE=

3

，
故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-

3

，3）．

（3）
①當(dāng)AD為平行四邊形的一邊時(shí)，點(diǎn)P的位置有兩個(gè)，分別為P₁、P₂，
當(dāng)點(diǎn)P位于P₁位置時(shí)，DP₁=AO，
此時(shí)可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

，3）；
當(dāng)點(diǎn)P位于P₂位置時(shí)，
∵OD=AD，△AOD是等邊三角形，
∴點(diǎn)P₂與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，
此時(shí)可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

3

，-3）；
②當(dāng)AD為平行四年行的對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)P的位置有一個(gè)，在P₃的位置，
此時(shí)DP₃=AO，
故可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3

3

，3）．
綜上可得存在點(diǎn)P的坐標(biāo)，使得以A、O、D、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

，3）或（-

3

，-3）或（-3

3

，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，解答本題的第一問(wèn)的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，第二問(wèn)要求我們能熟練解直角三角形，第三問(wèn)要求我們具備分類討論的能力，另外要熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)．